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대림동 고2수학과외

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끝점에서 틀린 연속성 판정

학생은 다음 날 풀이를 다시 확인하며 \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)를 정의역 \([-2,2]\)에서 살펴보았다. 함수값은 \(f(-2)=f(2)=0\)이므로 양끝에서 연속이라고 적었지만, 설명에는 “끝점에서도 좌극한과 우극한이 모두 함수값과 같아야 한다”는 문장이 남아 있었다.

잘못된 설명 찾기

이 문장이 오류인 이유는 닫힌구간의 끝점에서 정의되지 않은 방향을 요구했기 때문이다. \(x=-2\)에서는 구간 안쪽인 오른쪽에서만 접근하고, \(x=2\)에서는 왼쪽에서만 접근한다.

구간 내부와 양끝의 조건

위치확인할 조건
\(-2<x<2\)양쪽 극한이 \(f(a)\)와 같은지 확인
\(x=-2\)\(\displaystyle\lim_{x\to-2+}f(x)=f(-2)\)
\(x=2\)\(\displaystyle\lim_{x\to2-}f(x)=f(2)\)

주어진 함수의 판정

제곱근 함수는 정의역 안에서 연속이므로 구간 내부에서는 연속이다. 또한

\[ \lim_{x\to-2+}\sqrt{4-x^2}=0=f(-2), \qquad \lim_{x\to2-}\sqrt{4-x^2}=0=f(2). \]

따라서 \(f\)는 \([-2,2]\)에서 연속이다. 양끝에서 반대 방향의 극한을 따로 확인할 필요는 없다.

정의구간을 바꾸어 다시 확인하기

\([-2,1]\)에서의 연속성

같은 함수를 정의구간 \([-2,1]\)로 바꾸면 내부 \((-2,1)\)에서는 여전히 연속이다. 왼쪽 끝에서는 우극한만 확인하고, 오른쪽 끝 \(x=1\)에서는 좌극한만 확인한다.

\[ \lim_{x\to-2+}f(x)=0=f(-2), \qquad \lim_{x\to1-}f(x)=\sqrt3=f(1). \]

그러므로 \(f\)는 \([-2,1]\)에서도 연속이다. 이처럼 구간의 끝점에서는 ‘구간 안에서 접근 가능한 한쪽’만 판단해야 한다.

최종 검증

대림동과외에서 이 유형을 점검할 때는 먼저 정의구간을 표시한 뒤, 내부·왼쪽 끝·오른쪽 끝을 분리해 적으면 된다. “모든 끝점에서 양쪽 극한을 확인한다”는 설명은 이 문제의 조건과 맞지 않는 잘못된 설명이다.

대림동 고2수학과외 학부모 후기

문제집 한 권을 다 풀고도 아이가 책을 바로 치우지 않더라고요. 함수 문제 한 쪽을 펼쳐 놓고 그래프를 자기 손으로 다시 그린 다음, 식에 적힌 내용과 맞는지 한참 들여다보고 있더라고요. 따로 확인해 보라고 한 것도 아닌데 그래프와 식을 나란히 놓고 같은 조건을 나타내는지 비교하는 모습이 보이더라고요. 대림동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 꽤 인상적이었는데, 복습할 때 필요한 부분과 이미 알고 있는 부분을 나누지 않던 아이가 이제는 두 내용을 구분해서 살펴보고 있었습니다. 그냥 풀이를 다시 읽는 데서 끝나지 않고, 식과 그래프가 서로 맞물리는지 눈으로 확인하더라고요. 학교에서 새 함수 숙제가 나온 날에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 문제 옆에 식과 그래프를 함께 펼쳐 놓고 비교한 뒤, 확인한 부분만 따로 남겨 두고 나머지 자료는 정리했습니다. 예전처럼 처음부터 끝까지 한꺼번에 뒤적이지 않고, 필요한 흔적만 남은 책상이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

방학 중 다른 교재를 펼쳐 보던 오전에도 아이는 맞힌 문제에서 바로 다음 장으로 넘어가지 않았어요. 풀이를 한 번 더 살펴보더니, 지금 적어 둔 것 말고 더 간단하게 풀 수 있는지 다른 방식과 나란히 비교하고 있더라고요. 맞았다는 결과만 확인하고 끝내던 모습과는 조금 달랐습니다. 대림동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 집에서는 이런 장면을 따로 기대하지 않았거든요. 학교에서 돌아와 책상에 앉았던 오후에는 공부를 마친 뒤 이미 정답을 낸 문제 하나를 다시 펼쳐 놓고, 어느 풀이가 더 짧은지 한 줄씩 대조하고 있더라고요. 답을 맞혔는지만 동그라미 치고 지나가던 아이가 풀이 과정 자체를 다시 들여다보는 모습이 낯설었습니다. 예전 문제집을 보면 표시도 맞았는지 틀렸는지에만 몰려 있었는데, 이제는 필요한 부분만 남겨 두는 편이었어요. 다른 풀이를 비교한 흔적도 복잡하게 덧붙이지 않고, 나중에 볼 만한 부분만 간단히 적어 둔 채 그 문제를 마무리했습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 첫 주, 선생님과 아이가 함께 공부 계획을 세우는 모습을 옆에서 지켜보니 수업 준비가 꼼꼼해 안심이 됐습니다. 대림동 수학과외를 시작한 뒤 아이는 집중이 흐트러져도 질문을 피하지 않고, 답지를 먼저 보던 습관 대신 풀이를 다시 확인하려고 합니다. 학습량이 부담스러워 보일 때는 부모와 상의해 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 꾸준히 지켜볼 힘이 생겼습니다.

★★★★☆학부모 후기

대림동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 숙제할 때 답지부터 찾는 일이 조금씩 줄었습니다. 컨디션이 좋지 않은 날에는 선생님이 문제 수를 조절하고 핵심만 짚어 주셔서 부담이 덜했고, 해야 할 일과 다음에 볼 내용을 분명히 나눠 주셨습니다. 요즘은 답지를 덮고 다시 풀어 보거나 모르는 부분을 선생님께 편하게 설명해 달라고 말하는 모습이 보여 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

대림동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 틀린 문제를 다시 보는 걸 무척 싫어했습니다. 선생님은 답을 재촉하지 않고 충분히 생각할 시간을 주며, 수업을 마친 뒤 풀이를 차분히 돌아보도록 이끌어 주셨습니다. 요즘은 숙제를 마치고 책상을 정리하는 모습도 한결 여유로워졌고, 수업 있는 날을 예전처럼 부담스러워하지 않습니다.

★★★★★학부모 후기