대림동 고2수학과외







끝점에서 틀린 연속성 판정
학생은 다음 날 풀이를 다시 확인하며 \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)를 정의역 \([-2,2]\)에서 살펴보았다. 함수값은 \(f(-2)=f(2)=0\)이므로 양끝에서 연속이라고 적었지만, 설명에는 “끝점에서도 좌극한과 우극한이 모두 함수값과 같아야 한다”는 문장이 남아 있었다.
잘못된 설명 찾기
이 문장이 오류인 이유는 닫힌구간의 끝점에서 정의되지 않은 방향을 요구했기 때문이다. \(x=-2\)에서는 구간 안쪽인 오른쪽에서만 접근하고, \(x=2\)에서는 왼쪽에서만 접근한다.
구간 내부와 양끝의 조건
| 위치 | 확인할 조건 |
|---|---|
| \(-2<x<2\) | 양쪽 극한이 \(f(a)\)와 같은지 확인 |
| \(x=-2\) | \(\displaystyle\lim_{x\to-2+}f(x)=f(-2)\) |
| \(x=2\) | \(\displaystyle\lim_{x\to2-}f(x)=f(2)\) |
주어진 함수의 판정
제곱근 함수는 정의역 안에서 연속이므로 구간 내부에서는 연속이다. 또한
\[ \lim_{x\to-2+}\sqrt{4-x^2}=0=f(-2), \qquad \lim_{x\to2-}\sqrt{4-x^2}=0=f(2). \]
따라서 \(f\)는 \([-2,2]\)에서 연속이다. 양끝에서 반대 방향의 극한을 따로 확인할 필요는 없다.
정의구간을 바꾸어 다시 확인하기
\([-2,1]\)에서의 연속성
같은 함수를 정의구간 \([-2,1]\)로 바꾸면 내부 \((-2,1)\)에서는 여전히 연속이다. 왼쪽 끝에서는 우극한만 확인하고, 오른쪽 끝 \(x=1\)에서는 좌극한만 확인한다.
\[ \lim_{x\to-2+}f(x)=0=f(-2), \qquad \lim_{x\to1-}f(x)=\sqrt3=f(1). \]
그러므로 \(f\)는 \([-2,1]\)에서도 연속이다. 이처럼 구간의 끝점에서는 ‘구간 안에서 접근 가능한 한쪽’만 판단해야 한다.
최종 검증
대림동과외에서 이 유형을 점검할 때는 먼저 정의구간을 표시한 뒤, 내부·왼쪽 끝·오른쪽 끝을 분리해 적으면 된다. “모든 끝점에서 양쪽 극한을 확인한다”는 설명은 이 문제의 조건과 맞지 않는 잘못된 설명이다.