대림동 고1수학과외
선택 후 배열하는 문제에서 계산을 줄이는 기준
대림동 고1 수학과외에서 한 학생은 5명 중 3명을 고른 뒤 순서를 정하는 경우의 수를 구하면서, 선택과 배열을 한 번에 계산하려 했다. 곱셈식은 적었지만 같은 사람이 포함된 경우가 반복되어 답이 커졌다.
선택과 배열을 분리한 순간
오류의 원인은 배열부터 시작한 것이었다. 먼저 5명 중 3명을 고르는 경우를 세고, 선택된 3명을 배열하는 순서를 곱해야 한다는 점을 구분하지 못했다. 학생은 계산 대신 ‘누가 포함되는가’를 먼저 적어 선택된 집합을 만든 뒤, 그 안에서 순서를 정하는 단계로 풀이를 나누었다.
선택한 대상의 수를 정한 다음, 그 대상에 순서를 부여한다.
이 기준으로 경우의 수는 5C3 × 3! = 10 × 6 = 60이 된다. 같은 세 사람이 여러 순서로 나타나는 것은 배열 단계에서 세는 것이므로, 선택 단계에서 다시 반복하지 않도록 했다.
표현이 바뀐 문제에 적용하기
이번에는 5명의 학생 중 회장과 부회장을 각각 한 명씩 정하고, 남은 학생 중 한 명을 발표자로 정하는 문장형 문제를 제시했다. 단순히 ‘3명을 뽑아 배열한다’고 보지 않고, 직책마다 역할이 다르다는 조건을 읽어 회장 5가지, 부회장 4가지, 발표자 3가지로 나누었다.
따라서 경우의 수는 5 × 4 × 3 = 60이다. 같은 숫자가 나왔지만, 앞 문제처럼 선택과 배열을 분리한 결과가 아니라 역할이 다른 순차 선택으로 해석해야 한다는 점을 확인했다.
겹침 여부를 바꿔 확인한 결과
마지막에는 ‘3명을 뽑아 한 줄로 세운다’는 문제를 직접 나열하지 않고, 맨 앞자리에 올 사람을 기준으로 경우를 나누었다. 첫 자리는 5가지, 둘째 자리는 4가지, 셋째 자리는 3가지이므로 60가지가 나온다. 앞선 조합 계산과 결과가 일치해 중복 없이 모든 배열을 세었는지 확인할 수 있었다.