감삼동 중3수학과외

감삼동 생활권에서 시작한 근호 정리 한 장면

감삼동과외 수업에서 새 문제를 펼쳤을 때, 학생은 먼저 식의 모양보다 피근수를 살펴보는 습관을 확인해 보기로 했습니다. 우방죽전타운이나 우일아파트가 있는 생활권, 레이크뷰행복작은도서관 인근에서 접할 수 있는 중3 문제와 비슷한 형식이었습니다.

첫 줄에 남은 판단

문제는 다음과 같았습니다.

√180을 가장 간단한 근호의 꼴로 나타내시오.

학생은 피근수 180을 보고 공책에 다음과 같이 적었습니다.

√180 = √(9×20) = 9√20 = 9×2√5 = 18√5

마지막 답은 맞지 않았지만, 계산을 모두 한 뒤에 틀린 것이 아니었습니다. 첫 줄의 √(9×20)=9√20에서 이미 판단이 어긋났습니다. 9는 완전제곱수이지만 √9가 3이므로, 근호 밖으로 나올 수 있는 수는 9가 아니라 3입니다. 제곱인수를 찾은 행동 자체는 맞았고, 그 인수의 제곱근을 밖으로 옮기는 과정에서만 문제가 생겼습니다.

계산 전에 피근수를 다시 쪼개기

교정은 풀이 전체를 바꾸는 방식이 아니라, 첫 이동만 바로잡는 것으로 정했습니다. 피근수 안에서 완전제곱인 인수 9를 표시한 뒤, 그 값을 그대로 꺼내지 않고 제곱근으로 바꾸어 적었습니다.

√180 = √(9×20) = √9×√20 = 3√20

이후 학생이 이미 알고 있던 계산은 그대로 이어졌습니다.

3√20 = 3√(4×5) = 3×2√5 = 6√5

따라서 √180의 간단한 꼴은 6√5입니다. 여기서 새로 여러 규칙을 덧붙이지 않고, 피근수 안의 완전제곱인 부분만 찾아 그 제곱근을 밖으로 이동한다는 한 가지 기준만 사용했습니다.

표현을 바꾼 연습 문제

다음 문제에서는 처음 문제처럼 피근수를 바로 인수분해하는 대신, 곱의 형태로 제시된 식을 정리했습니다.

√(8×18)을 간단히 하여 □√2의 □에 들어갈 수를 구하시오.

학생은 8×18을 먼저 144로 계산하지 않고, 완전제곱이 드러나도록 배열했습니다.

√(8×18) = √(4×2×9×2) = √(4×9×2×2)

이제 완전제곱인 4와 9를 묶고, 남은 2×2도 다시 제곱인수로 묶었습니다.

√(4×9×2×2) = √(4×9×4) = √(16×9) = 12

하지만 이 문제는 □√2의 꼴을 요구하므로, 위처럼 모든 인수를 한꺼번에 제곱수로 만들면 표현의 조건을 놓치게 됩니다. 학생은 다시 피근수 8×18을 한 번 계산해 144로 바꾼 것이 아니라, 원래 곱에서 한 개의 2는 남겨 두고 제곱인수만 골랐습니다.

√(8×18) = √(4×2×9×2) = √(4×9×2×2)에서 2×2를 밖으로 빼면 남는 것이 없으므로 □√2 꼴은 만들 수 없습니다. 따라서 이 문제의 형식은 □√2를 요구하기에 적절하지 않다는 점을 확인하고, 실제 정리 결과가 12임을 기록했습니다. 표현 조건과 피근수의 남은 인수를 함께 확인한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 문제

며칠 뒤에는 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 식만 제시했습니다.

√432를 가장 간단한 근호의 꼴로 나타내고, 근호 밖의 수가 왜 그렇게 정해졌는지 설명하시오.

학생은 먼저 432에서 완전제곱인 인수를 찾았습니다.

432 = 144×3

그리고 곧바로 답을 쓰지 않고, 밖으로 나올 수를 확인했습니다.

√432 = √(144×3) = √144×√3 = 12√3

마지막에는 힌트 없이 검산했습니다. 밖으로 나온 12를 제곱하면 144이고, 안에 남은 3을 곱하면 12²×3=144×3=432가 됩니다. 학생은 “144는 완전제곱인 인수라서 밖으로 선택했고, 12는 144의 제곱근이므로 12√3이 된다”고 설명했습니다. 처음 틀렸던 ‘완전제곱수를 그대로 꺼내기’ 대신, 새 식에서도 완전제곱인 부분과 그 제곱근을 스스로 구분해 근호 정리를 끝냈습니다.