감삼동 고등수학과외
감삼동 고등수학과외에서 자주 다루는 장면 중 하나는 식의 값과 방정식의 해를 구별하는 일이다. 대구외국어고등학교나 영남고등학교를 준비하는 학생도 계산 자체는 빠르지만, 식에 특정 값을 넣어 얻은 결과와 등식이 성립하게 하는 값을 같은 의미로 받아들이는 순간 오답으로 이어질 수 있다. 감삼동에서는 우방죽전타운과 레이크뷰행복작은도서관 인근에서 학습하는 학생들이 이런 풀이 기록을 가져오기도 한다.
식의 값보다 먼저 확인할 것
문제에 x²+10x-1227이 제시되고 어떤 값의 구분을 묻는다면, 학생은 곧바로 x에 수를 대입하려 했다. 그러나 이 식만으로는 해가 정해지지 않는다. 식의 값을 묻는 것인지, 아니면 이 식을 0으로 놓은 방정식의 해를 묻는 것인지부터 확인해야 한다. 방정식이라면
x²+10x-1227=0
이라는 조건이 추가된다. 판별식은 10²-4·1·(-1227)=5008이고, 5008=16·313이므로 해는
x=-5±2√313
이다. 따라서 정수처럼 보이는 값을 임의로 넣고 결과가 0이 아니라고 해서 계산이 틀렸다고 판단해서는 안 된다. 그 값이 단순히 식의 값만 만든 것인지, 실제 해인지 구분해야 한다.
첫 오류가 생긴 순간을 다시 보기
학생의 풀이에는 방정식의 해를 구한 뒤 검산 경로가 없었다. 이어서 특정 수를 식에 넣고 나온 값이 양수인지 음수인지로 해 여부를 판단했다. 여기서 처음 잘못된 순간은 ‘식의 값이 0이 아니면 가까운 해가 아니다’라고 바꿔 생각한 부분이다. 식의 값은 입력값마다 정해지지만, 해는 그 값이 0이 되게 하는 입력값이다.
입력값을 넣어 얻은 결과와, 그 결과를 0으로 만드는 입력값은 서로 다른 대상이다.
이 차이를 확인하기 위해 전개 연습도 함께 진행했다. (14x-7)(x+6)을 전개하면 14x²+77x-42가 된다. 학생은 처음에 x항 계수를 84로 적었는데, 14x·6과 -7x를 합쳐야 하므로 84-7=77이다. 항을 따로 적은 뒤 같은 차수끼리 묶는 방식으로 첫 오류를 바로잡았다. 다음 식에서는 (19x-11)(x+9)의 x항을 171-11=160으로 스스로 확인했다.
가린 조건을 복원하는 연습
다음에는 방정식이라는 문구를 가리고 x²+10x-1227만 제시했다. 학생은 먼저 “이것은 식인가, 0과 같다고 주어진 방정식인가?”를 적은 다음 풀이를 시작했다. 방정식 조건이 없으면 x=2일 때 식의 값은 4+20-1227=-1203이다. 이 값은 해가 아니라 단순한 계산 결과다. 반대로 x=-5+2√313을 넣으면 식의 값이 0이므로 그 수는 방정식의 해가 된다.
조건을 바꾼 독립 문제에서는 x²-6x-7=0을 풀게 했다. 해는 7과 -1이다. 학생은 이번에는 식을 먼저 0과 연결하고, 두 값을 각각 대입해 확인했다. 이어서 좌표평면에서 y=x²+10x-1227의 x절편이 두 해에 해당한다는 점도 표시했다. 그래프 위의 다른 점은 함수의 값은 갖지만 방정식의 해는 아니다.
마지막에는 원식으로 되돌아간다
검증은 답을 한 번 더 읽는 데서 끝내지 않았다. 구한 해를 원식에 대입해 전개된 항을 묶었다. x=-5+2√313을 넣으면 x²+10x-1227은 (x+5)²-1252가 되고, (2√313)²-1252=1252-1252=0이다. 다른 해도 같은 방식으로 0이 된다. 반면 x=0을 넣으면 -1227이므로 0이 아니며 해가 아니다. 이 대조를 통해 식의 값과 해를 혼동했던 판단을 직접 반박할 수 있었다.
자주 묻는 질문
식에 숫자를 넣어 0이 나오면 모두 해인가요?
그 식을 0과 같다고 둔 방정식이 문제에 포함되어 있을 때만 그 숫자를 해라고 부른다.
판별식이 제곱수가 아니면 해가 없나요?
실수 범위에서는 판별식이 양수이면 무리수 형태의 서로 다른 두 해가 존재할 수 있다. 5008도 제곱수는 아니지만 양수이므로 두 실근이 있다.
식의 값은 언제 구하나요?
x의 값이 주어졌거나 임의의 입력값에 대한 함수값을 묻는 경우에 구한다. 방정식에서는 먼저 등식 조건을 확인한다.
전개 검산은 왜 필요한가요?
x항처럼 서로 다른 곱에서 생기는 항을 빠뜨리기 쉽기 때문이다. 같은 차수끼리 모아 원식과 비교하면 해석의 출발점이 되는 계수 오류도 찾을 수 있다.