감삼동 중1수학과외

감삼동 중1수학과외에서 다시 세운 최소공배수 풀이

감삼동과외 수업에서 학교 학습지를 다시 풀던 학생은 두 수의 최소공배수를 구하는 문제에서 답은 적었지만, 왜 그 수를 선택했는지는 설명하지 못했다.

답에서 거꾸로 찾아본 첫 오류

문제에는 18과 24의 최소공배수를 구하라는 조건이 있었다. 학생은 곧바로 18×24=432라고 적고, “두 수를 모두 포함하므로 곱한다”고 말했다. 그러나 이 계산은 두 수의 공통된 부분을 한 번 겹쳐 센 결과였다. 답이 틀린 지점은 곱셈 결과가 아니라, 소인수와 지수를 확인하기 전에 두 수를 그대로 곱하기로 판단한 순간이었다.

학생이 적은 풀이를 지우지 않고 옆에 나란히 다음처럼 정리했다.

18=2×3×3=2×3²
24=2×2×2×3=2³×3

그다음 두 식에서 같은 소인수가 무엇인지 표시했다. 2와 3은 두 수에 모두 들어 있지만, 최소공배수는 공통된 소인수를 한 번만 쓰는 수가 아니라 두 수가 각각 나누어떨어지도록 필요한 지수를 선택해야 한다. 따라서 2에 대해서는 2¹과 2³ 중 큰 지수인 2³을, 3에 대해서는 3²와 3¹ 중 큰 지수인 3²를 적었다.

최소공배수=2³×3²=8×9=72가 된다. 교정은 한 가지였다. 곱셈을 시작하기 전에 두 수를 소인수의 곱으로 나타내고, 각 소인수의 지수를 비교하는 절차를 먼저 두는 것이다. 이미 직접 소인수분해한 과정은 유지하고, 첫 판단만 바꾸었다.

표현이 달라진 문제에 적용하기

다음 문제에서는 숫자를 바로 제시하지 않고 “어떤 수를 2×2×3과 2×3×3으로 나타냈을 때, 두 수의 최소공배수를 구하여라”라고 표현을 바꾸었다. 학생은 이번에는 숫자를 먼저 계산하지 않았다. 두 곱을 각각 읽어 표로 옮겼다.

• 첫 번째 수: 2²×3
• 두 번째 수: 2×3²
• 필요한 2의 지수: 2
• 필요한 3의 지수: 2

그래서 최소공배수를 2²×3²로 만들고 36이라고 답했다. 이번에는 “두 수를 모두 나누어떨어지게 하면서 더 작은 공배수를 만들려면 각 소인수에서 큰 지수만 골라야 한다”고 설명했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 소인수분해된 곱을 보고 조건을 다시 해석하는 방식으로 바뀐 문제였다.

곱셈으로 되돌리는 검산

학생은 72를 처음 식으로 되돌려 확인했다. 72÷18=4, 72÷24=3이므로 두 수의 배수라는 점을 확인했다. 이어 72보다 작은 공배수가 있는지 소인수의 지수를 낮춰 살폈다. 2의 지수를 2로 낮추면 2²×3²=36이 되어 18로는 나누어떨어지지만 24로는 나누어떨어지지 않는다. 3의 지수를 1로 낮추면 2³×3=24가 되어 24로는 나누어떨어지지만 18로는 나누어떨어지지 않는다. 따라서 어느 지수도 더 낮출 수 없다는 근거까지 적었다.

감삼동중1수학과외의 다음 확인 문제에서는 힌트를 주지 않고 “12와 30의 최소공배수를 소인수와 지수로 설명하고, 구한 수가 두 수의 공배수인지 확인하라”고 제시했다. 학생은 스스로 12=2²×3, 30=2×3×5라고 쓰고, 2²×3×5=60을 만들었다. 이어 60÷12=5, 60÷30=2를 계산해 조건을 확인했다.

또 “최소공배수는 두 수를 그대로 곱한 값인가?”라는 질문에는 12×30=360이지만 60도 두 수의 공배수이므로 항상 곱셈값과 같지는 않다고 답했다. 처음의 432라는 잘못된 선택을 다시 떠올리지 않고, 소인수별 지수를 비교한 뒤 곱으로 되돌려 원래 조건을 확인한 것이다. 이 과정을 통해 학생은 답만 적는 대신, 왜 그 수가 최소인지 자신의 식과 검산으로 재현했다.