감삼동 고3수학과외

준킬러의 첫 발상은 계산보다 조건을 먼저 세우는 데서 시작됐다

감삼동 생활권의 학습공간에서 진행한 한 풀이 점검에서 학생은 다음 문제를 만났다.

이차함수 \(f(x)=x^2-2ax+a-1\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 두 점의 \(x\)좌표가 모두 구간 \((0,4)\) 안에 있을 때, 실수 \(a\)의 범위를 구하여라.

학생은 곧바로 판별식을 계산했다. \(\Delta=4(a^2-a+1)\)이고 \(a^2-a+1\)은 항상 양수이므로 서로 다른 두 실근이 존재한다고 정리한 뒤, 가능한 \(a\)가 모든 실수인 것처럼 결론을 내렸다. 계산 자체는 매끄러웠지만, 문제에서 실제로 제한하는 조건인 ‘두 근이 모두 \((0,4)\)에 있다’는 문장이 첫 식에 반영되지 않았다. 자연스러운 결과처럼 보이는 답 속에 허용되지 않는 후보가 전부 섞인 순간이었다.

판별식 뒤에 남아 있던 구간 조건

풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 빠진 조건만 첫 줄 옆에 복원하도록 했다.

두 근이 \((0,4)\)에 있음이라는 조건은 위로 열린 포물선의 양 끝점에서 함수값이 양수이고, 꼭짓점의 \(x\)좌표가 구간 안에 있어야 한다는 뜻이다. 따라서 학생은 다음 세 가지를 따로 표시했다.

• 꼭짓점의 \(x\)좌표 \(a\)가 \(0
• \(f(0)=a-1>0\)
• \(f(4)=15-7a>0\)

판별식은 이미 항상 양수이므로 별도의 제한을 만들지 않는다. 위 조건을 합치면 \(a>1\), \(a<15/7\)이므로 최종 범위는 \(1

이처럼 대구고3수학과외에서 다루는 준킬러 풀이도 계산 속도보다 첫 식의 근거를 세우는 일이 먼저다. 감삼동과외 학습에서 학생에게 요구한 교정 역시 풀이 전체를 다시 외우는 것이 아니라, 문제의 제한조건을 첫 줄에 옮겨 적는 한 가지 행동이었다.

조건의 위치를 바꾼 변형 문제

같은 풀이를 숫자만 바꿔 반복하지 않기 위해 문제의 표현을 바꾸었다.

이차함수 \(g(x)=x^2-2bx+b+2\)의 두 실근이 닫힌 구간 \([-1,3]\]에 모두 포함되도록 하는 \(b\)의 범위를 구하여라.

이번에는 구간의 끝점이 포함되어 있고, 조건이 문제 앞이 아니라 마지막에 배치되어 있었다. 학생은 다음 단계를 미리 보여 주지 않은 상태에서 먼저 “근의 위치 조건”을 표시했다. 꼭짓점의 위치, 양 끝점에서의 함수값, 판별식을 차례로 점검했다.

\(g(-1)=3+3b\), \(g(3)=11-5b\), 꼭짓점의 \(x\)좌표는 \(b\)이다. 또 판별식은 \(4(b-2)(b+1)\)이다. 학생은 경계가 닫혀 있으므로 중복근도 허용된다는 점을 별도로 적고, 각 조건을 교집합으로 정리했다. \(b=2\)일 때 두 근이 모두 \(2\)이고, \(b=11/5\)일 때 한 근이 \(3\)에 닿는다는 사실까지 원식에 대입해 확인했다. 단순히 앞 문제의 \(1

해설을 가린 뒤 남은 첫 행동

마지막 주말 100분 실전세트에서는 매개변수가 들어간 이차함수 문제를 제시하고 해설과 보기의 순서를 모두 가렸다. 학생은 계산에 들어가기 전 문제에서 ‘근의 위치’, ‘끝점 포함 여부’, ‘서로 다른 근인지’를 표시했다. 첫 식을 쓰면서도 “이 조건 때문에 꼭짓점과 양 끝점의 함수값을 함께 본다”고 근거를 설명했다.

중간에 판별식이 양수라는 결과가 나오자 예전처럼 풀이를 끝내지 않고, 후보 범위를 원래 함수에 재대입했다. 그래프가 구간 밖에서 축과 만나는 경우를 직접 제외하고, 경계값에서는 열린 구간인지 닫힌 구간인지 다시 확인했다. 도움 없이 조건을 찾고, 첫 식을 세운 이유를 말하고, 마지막에 원식으로 검산하는 행동이 그대로 이어졌다. 첫 발상에서 필요한 것은 복잡한 계산이 아니라, 결론을 제한하는 조건을 풀이의 출발점으로 되돌려 놓는 판단이었다.