감삼동 중2수학과외
분수를 소수로 바꾸기 전, 순환 여부를 먼저 판단한 수업
감삼동과외 수업에서 학생은 분수를 소수로 바꾸는 문제를 풀며 계산보다 먼저 확인해야 할 기준을 놓치고 있었다. 감삼동중2수학과외를 진행한 날, 우방죽전타운과 레이크뷰행복작은도서관이 있는 생활권의 중학교 학습지에서 다음 문제를 함께 살폈다.
분수 18/45를 기약분수로 나타낸 뒤 소수로 바꾸고, 유한소수인지 순환소수인지 판단하여라.
학생은 곧바로 분자를 분모로 나누려고 했다. 45 안에 18이 두 번 들어간다고 적고, 나머지 9를 내려 90으로 만든 뒤 2.4까지 계산했다. 그러나 나눗셈을 잠시 멈추고 “이 정도면 유한소수인가요?”라고 물었다. 계산을 끝까지 밀어붙이기보다 결과의 형태를 보류한 점은 좋았지만, 왜 그런 형태가 나오는지는 아직 설명하지 못했다.
계산을 시작하기 전에 어긋난 한 가지 판단
학생이 처음 잘못 고른 기준은 원래 분모 45를 보고 소수의 종류를 판단하려 한 것이었다. 45는 2와 5 이외의 소인수를 포함하므로 순환소수라고 표시했지만, 분수는 먼저 약분할 수 있었다. 18과 45의 공약수 9를 확인하지 않은 채 원래 분모만 기준으로 삼은 것이 계산 결과가 틀어지기 전의 최초 판단이었다.
교사는 이미 적어 둔 나눗셈 과정을 지우지 않고, 분수 옆에 “약분 가능?”이라고 표시하게 했다. 학생은
18/45 = 2/5
를 먼저 적었다. 그다음 약분된 분모 5를 보고, 분모의 소인수가 2와 5로만 이루어지면 유한소수가 된다는 기준을 적용했다. 실제로 2/5를 소수로 바꾸면 0.4이므로 유한소수였다. 원래 분모를 바로 판단하는 대신 기약분수의 분모를 확인하는 한 단계만 추가했고, 나눗셈으로 검산하는 과정은 그대로 유지했다.
표와 문장으로 바꿔도 같은 기준을 적용하기
다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다.
다음 표의 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 고르고, 나머지는 순환소수로 나타나는 이유를 설명하여라.
- 가: 21/28
- 나: 14/45
- 다: 33/50
학생은 처음부터 소수로 나누지 않고 각 분수를 약분한 뒤 분모를 따로 적었다.
- 가: 21/28 = 3/4, 분모 4
- 나: 14/45, 더 이상 약분되지 않음, 분모 45
- 다: 33/50, 더 이상 약분되지 않음, 분모 50
분모 4와 50은 2와 5만으로 이루어져 유한소수이고, 45에는 3이 포함되어 순환소수라고 판단했다. 이어서 “0.75, 0.28, 0.6으로 끝나는가?”라고 직접 나눗셈 결과를 확인했다. 표에서 고르는 질문으로 바뀌었지만, 약분 후 분모를 먼저 보는 순서는 유지했다.
또 다른 문장형 문제에서는 “어떤 분수는 소수점 아래 숫자가 끝나지 않고 반복된다. 8/12가 그 이유에 해당하는지 설명하라”고 제시했다. 학생은 8/12를 곧바로 순환소수라고 하지 않고 2/3으로 약분했다. 분모 3이 남으므로 순환소수이며, 2/3=0.666…이라고 적었다. 질문이 ‘유한소수를 고르기’에서 ‘순환하는 까닭 설명하기’로 바뀌어도 판단의 출발점을 잃지 않았다.
힌트 없이 다시 세운 첫 판단
수업 후반에는 다음 문제를 아무 표시 없이 제시했다.
분수 84/120을 소수로 나타낼 때, 계산하기 전에 유한소수인지 순환소수인지 판단하고 그 근거를 쓰시오.
학생은 나눗셈을 시작하지 않고 “먼저 84와 120을 약분해서 기약분수의 분모를 보겠습니다”라고 말했다. 84/120을 7/10으로 줄인 뒤, 분모 10은 2와 5로만 이루어져 있으므로 유한소수라고 설명했다. 이어 7/10=0.7을 계산하고, 0.7에 10을 곱하면 7이 되어 원래 분수와 같은 값인지 확인했다.
학생은 마지막에 “원래 분모가 아니라 약분한 뒤의 분모를 기준으로 해야 하고, 그 분모에 2와 5 이외의 소인수가 남으면 순환소수”라고 스스로 정리했다. 이번에는 도움 없이 첫 판단을 세우고, 판단의 이유와 계산 결과의 검산 근거까지 이어서 제시했다.