광주서구 중등수학과외

광주서구중등수학과외, -10x<20에서 부등호 방향과 -2의 포함 여부 확인하기

-10x<20을 풀어 x>-2라는 답을 맞혔더라도, 일차부등식에서는 답만으로 이해를 판단하기 어렵습니다. 이 문제의 핵심은 양변을 -10으로 나누는 순간 부등호의 방향이 바뀐다는 점과, -2가 해에 포함되는지를 구분하는 데 있습니다. 학부모님은 풀이가 맞았는지뿐 아니라 식, 수직선 표시, 짧은 설명이 모두 같은 뜻을 가리키는지 살펴볼 수 있습니다.

음수로 나누면 왜 부등호가 바뀌는가

기본 문제는 -10x<20입니다. x만 남기려면 양변을 -10으로 나누어야 하므로, 부등호 방향을 바꾸어 x>20÷(-10), 즉 x>-2가 됩니다. 방향을 그대로 두고 x<-2라고 쓰면 부등식의 뜻이 달라집니다. 예를 들어 x=-3을 원래 식에 넣으면 -10×(-3)=30이므로 30<20은 거짓입니다. 반대로 x=0을 넣으면 0<20이 참이므로 0은 해가 되어야 합니다. 따라서 해가 -2의 오른쪽에 놓인다는 x>-2가 원식과 맞습니다.

설명은 길 필요가 없습니다. “음수 -10으로 나누었으니 부등호를 반대로 바꾼다”라고 말하고, 수직선에서 -2 오른쪽을 표시할 수 있으면 계산 절차와 표시가 연결됩니다. 수직선 뒤집기 카드를 사용할 때에는 단순히 화살표를 외우기보다, 양수로 나눌 때의 방향이 음수로 나누면서 반대가 된다는 변화를 식 옆에 함께 적어 보게 합니다.

-2는 답의 경계이지만 해에는 포함되지 않는다

x>-2에서 -2는 해의 시작을 가르는 경계값입니다. 그러나 기호가 >이므로 -2 자체는 포함하지 않습니다. 이를 확인하려면 x=-2를 원식에 대입합니다. -10×(-2)<20은 20<20이 되어 거짓입니다. 따라서 수직선에는 -2 위치를 빈 동그라미로 그리고, 그 오른쪽으로 선이나 화살표를 표시합니다. 경계값을 표시했다는 사실과 경계값이 해라는 사실은 다르므로, “-2도 포함되나요?”라는 질문에는 원식 대입 결과를 근거로 답해야 합니다.

이때 답을 맞힌 학생에게 오답 풀이를 다시 시키는 것이 목적은 아닙니다. 정답을 가린 뒤에도 -10으로 나눈 단계, 바뀐 부등호, 빈 동그라미의 의미를 풀이 기록에서 복원할 수 있는지 확인하는 과정입니다. 말로 바로 설명하기 어렵다면 ‘-10으로 나눔 → <를 >로 바꿈 → -2는 대입하면 거짓’처럼 식과 기호로 적어도 됩니다. 중요한 것은 말과 표시가 서로 모순되지 않는지입니다.

비교 문제에서 등호 하나가 바꾸는 해의 범위

비교 문제는 -10x≤20입니다. 앞 문제와 같이 양변을 -10으로 나누되, 음수로 나누므로 방향을 바꾸어 x≥-2가 됩니다. 나누는 수와 방향 변화는 기본 문제와 같지만, 처음의 ≤가 ≥로 바뀌면서 경계 포함 여부가 달라집니다. x=-2를 대입하면 20≤20은 참이므로 이번에는 -2가 해에 포함됩니다. 수직선에는 -2를 채운 동그라미로 표시하고 오른쪽을 나타냅니다.

광주서구중등수학과외 수업에서는 비교 문제를 혼자 푼 뒤, 두 수직선을 나란히 놓고 x>-2와 x≥-2의 차이를 확인할 수 있습니다. 둘 다 -2보다 큰 수는 포함하지만, -2 하나만은 첫째 해에 없고 둘째 해에는 있습니다. 이후에는 며칠 뒤 풀이를 보지 않고 두 문제에서 -2를 대입한 결과를 각각 적어 보게 합니다. 음수로 나눌 때 부등호를 바꾸는 이유와 경계의 포함 여부를 원식 대입으로 설명하고, -10x≤20을 스스로 x≥-2로 표시할 수 있을 때 다음 유형으로 넘어갈 근거가 마련됩니다.