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광주서구 고2수학과외

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극한값이 같아도 함수의 대소가 같아지는 것은 아니다

광주서구과외에서 자주 확인하는 오류 중 하나는 극한의 대소 관계를 거꾸로 해석하는 것입니다. 극한이 같다는 사실만으로 근방에서 두 함수가 같은 순서로 놓인다고 결론 내릴 수는 없습니다.

학생 풀이 기록에서 발견된 역명제

근방에서 f(x)≤g(x)이면 lim f(x)≤lim g(x)이다.

따라서 lim f(x)=lim g(x)이면 근방에서 f(x)=g(x)이다.

첫 번째 문장은 조건이 맞을 때 사용할 수 있는 정리입니다. 그러나 두 번째 문장은 그 역명제로, 일반적으로 성립하지 않습니다.

매개변수 부등식으로 확인하기

다음 조건을 생각해 봅니다.

문제: 어떤 양의 수 δ가 존재하여 0<|x|<δ에서

fa(x)=a+1+x ≤ g(x)=3−x

가 성립하도록 하는 실수 a의 범위를 구하여라.

극한으로 얻는 조건

부등식이 근방에서 성립하고 두 극한이 존재하므로 대소 관계의 방향을 보존하면

limx→0fa(x)≤limx→0g(x)

입니다. 따라서

a+1≤3, 즉 a≤2를 얻습니다.

다만 이 결과는 필요한 조건일 뿐, a=2까지 실제로 가능한지는 원래 부등식에서 다시 확인해야 합니다.

원래 부등식의 직접 검증

부등식을 정리하면

a+1+x≤3−x ⇔ 2x≤2−a

  • a<2이면 2−a>0이므로 0<|x|<(2−a)/2에서 부등식이 성립합니다.
  • a=2이면 2x≤0이어야 합니다. 양수인 x와 음수인 x를 모두 포함하는 근방에서는 성립하지 않습니다.
  • a>2이면 x=0에 가까운 값에서도 부등식이 성립할 수 없습니다.

따라서 정답은 a<2입니다.

판단 기준 정리

f(x)≤g(x)가 근방에서 성립하고 양쪽 극한이 존재하면 반드시 lim f≤lim g입니다. 반대로 극한의 대소 관계만으로 원래 함수의 대소 관계를 확정할 수는 없습니다.

이번 문제에서도 극한만 사용하면 a≤2라는 경계까지 얻지만, 경계값 a=2는 직접 대입해 탈락시켜야 합니다. 이러한 차이를 점검하는 것이 광주서구과외에서 극한 부등식 문제를 풀 때의 핵심입니다.

광주서구 고2수학과외 학부모 후기

계산이 틀린 문제를 통째로 붙잡고 있을 줄 알았는데, 아이는 풀이를 한참 넘기지 않고 처음 어긋난 두 줄만 찾아서 보고 있더라고요. 중간고사 일주일 전이라 공부 흔적을 정리하던 중이었는데, 어디서부터 다시 봐야 하는지 스스로 골라낸 모습이 눈에 띄었어요. 광주서구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 꽤 인상적이었어요. 예전에는 틀린 문제를 처음부터 끝까지 순서대로 반복해서 보곤 했거든요. 그런데 이번에는 계산이 흐트러진 지점을 좁혀서 살펴보고 있었습니다. 단원평가를 준비하던 밤에도 같은 방식으로 계산 첫 줄을 먼저 확인했어요. 이어서 물어볼 부분은 지우거나 정리하지 않고 그대로 남겨둔 채 책을 정돈하더라고요. calc?

★★★★★학부모 후기

시험 결과를 보여준 뒤 아이가 틀린 문제를 그냥 넘기지 않고 잠시 들여다보더라고요. 숫자 몇 군데를 가린 상태로 같은 문제를 다시 풀어 보면서, 숫자가 달라져도 자신이 했던 판단이 맞는지 확인하고 있더라고요. 예예전에는 어디에서 막혔는지 하나로 좁혀 보지 못하고 답만 다시 확인하는 경우가 많았거든요. 광주서구 수학과외를 찾아보던 때에도 이런 부분을 많이 신경 썼는데, 숫자를 모두 보지 않은 채 풀이를 이어가는 모습이 전과는 달랐습니다. 새로운 수행평가 대본을 받았을 때도 비슷한 장면이 나왔어요. 문제의 수 일부를 가려 놓고 같은 기준으로 다시 풀어 본 다음, 다음 공부에서 바로 볼 수 있도록 해당 위치에 표시를 해두었습니다.ેણ

★★★★★학부모 후기

광주서구에서 수학 과외를 시작한 뒤, 모르는 문제를 만나도 예전처럼 답만 확인하지 않고 틀린 이유를 먼저 생각하게 됐어요. 선생님은 제가 직접 겪은 과정을 차분히 들어 주고, 다음 수업에서 물어볼 내용을 준비하도록 도와주셨습니다. 숙제도 한꺼번에 몰아주지 않고 우선순위를 정해 주셔서 수업 후 무엇을 복습해야 할지 훨씬 분명해졌어요.

★★★★★학부모 후기

학원과 학교 일정이 겹쳐 귀가가 늦은 날에도 예전처럼 숙제를 미루지 않고 책상에 앉는 모습을 보니 스스로도 신기했습니다. 광주서구에서 수학 과외를 시작한 뒤 선생님은 할 일을 짧게 나눠 주고, 설명보다 제가 제대로 이해했는지 먼저 확인해 주셨습니다. 시험기간에 계획이 밀려도 순서를 다시 정하니 부담이 줄고 공부를 시작할 때 표정도 한결 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

새 교재를 시작한 첫 주, 아이가 광주서구 수학 과외에서 배운 문제를 집에서 다시 펼쳐 보는 모습이 눈에 들어왔습니다. 예전에는 풀이를 설명하거나 모르는 부분을 질문하는 걸 어려워했는데, 선생님께서 기초 문제로 자연스럽게 돌아가 생각할 기준만 짚어 주시고 답을 서둘러 알려주지 않으셨다고 합니다. 숙제도 한꺼번에 부담스러워하지 않고 나누어 해 보려는 변화가 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기