광주서구 고2수학과외







극한값이 같아도 함수의 대소가 같아지는 것은 아니다
광주서구과외에서 자주 확인하는 오류 중 하나는 극한의 대소 관계를 거꾸로 해석하는 것입니다. 극한이 같다는 사실만으로 근방에서 두 함수가 같은 순서로 놓인다고 결론 내릴 수는 없습니다.
학생 풀이 기록에서 발견된 역명제
근방에서 f(x)≤g(x)이면 lim f(x)≤lim g(x)이다.
따라서 lim f(x)=lim g(x)이면 근방에서 f(x)=g(x)이다.
첫 번째 문장은 조건이 맞을 때 사용할 수 있는 정리입니다. 그러나 두 번째 문장은 그 역명제로, 일반적으로 성립하지 않습니다.
매개변수 부등식으로 확인하기
다음 조건을 생각해 봅니다.
문제: 어떤 양의 수 δ가 존재하여 0<|x|<δ에서
fa(x)=a+1+x ≤ g(x)=3−x
가 성립하도록 하는 실수 a의 범위를 구하여라.
극한으로 얻는 조건
부등식이 근방에서 성립하고 두 극한이 존재하므로 대소 관계의 방향을 보존하면
limx→0fa(x)≤limx→0g(x)
입니다. 따라서
a+1≤3, 즉 a≤2를 얻습니다.
다만 이 결과는 필요한 조건일 뿐, a=2까지 실제로 가능한지는 원래 부등식에서 다시 확인해야 합니다.
원래 부등식의 직접 검증
부등식을 정리하면
a+1+x≤3−x ⇔ 2x≤2−a
- a<2이면 2−a>0이므로 0<|x|<(2−a)/2에서 부등식이 성립합니다.
- a=2이면 2x≤0이어야 합니다. 양수인 x와 음수인 x를 모두 포함하는 근방에서는 성립하지 않습니다.
- a>2이면 x=0에 가까운 값에서도 부등식이 성립할 수 없습니다.
따라서 정답은 a<2입니다.
판단 기준 정리
f(x)≤g(x)가 근방에서 성립하고 양쪽 극한이 존재하면 반드시 lim f≤lim g입니다. 반대로 극한의 대소 관계만으로 원래 함수의 대소 관계를 확정할 수는 없습니다.
이번 문제에서도 극한만 사용하면 a≤2라는 경계까지 얻지만, 경계값 a=2는 직접 대입해 탈락시켜야 합니다. 이러한 차이를 점검하는 것이 광주서구과외에서 극한 부등식 문제를 풀 때의 핵심입니다.