광주서구 고3수학과외

삼차함수 그래프에서 결론이 바뀌는 경계를 찾는 법

광주서구의 금호지구와 상무지구 생활권에서 고3 수학 문제를 지도하다 보면, 삼차함수의 개형을 대략 그린 뒤 교점 개수나 해의 범위를 판단하는 학생을 자주 만난다. 이때 그래프의 큰 모양만 맞히는 것보다 결론이 바뀌는 경계값을 정확히 확인하는 일이 더 중요하다. 광주서구과외 수업에서도 한 학생의 풀이를 살펴보던 중, 바로 이 지점에서 판단이 흔들렸다.

문제는 f(x)=x³-3x를 구간 0≤x≤2에서 관찰하고, 수평선 y=k와 만나는 점의 개수가 k에 따라 어떻게 달라지는지 묻는 유형이었다. 학생은 먼저 도함수 f′(x)=3(x²-1)을 구해 x=1에서 도함수의 부호가 바뀐다는 점을 확인했다. 그러나 곧바로 “극솟값이 -2이므로 교점 개수는 k=-2에서만 달라진다”고 결론을 적었다.

개형보다 먼저 표시해야 할 값

오류는 계산이 아니라 후보를 고르는 첫 단계에서 생겼다. 학생은 삼차함수의 일반적인 모양에 맞춰 내부 정지점만 경계로 취급했고, 정의역의 끝점 x=0과 x=2를 대입하지 않았다. 따라서 일반적인 전체 실수 구간의 그래프와 제한된 구간 위 그래프를 같은 것으로 처리한 셈이다.

실제로 구간 안에서 값들을 확인하면

• f(0)=0
• f(1)=-2
• f(2)=2

가 된다. x=1에서는 도함수의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 내부 최솟값이 -2이다. 하지만 x=0과 x=2는 끝점이므로 각각 y=0, y=2라는 새로운 경계 후보를 만든다. 학생이 놓친 것은 바로 이 두 값이었다.

나는 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 그래프 옆에 “내부 정지점”과 “정의역 끝점”을 나누어 적게 했다. 그다음 후보값 -2, 0, 2만 원래 함수에 직접 대입해 확인하도록 했다. 일반 구간에서 성립하는 규칙을 경계까지 확장하기 전에, 끝점이 실제로 포함되는지 먼저 검사하는 행동으로 교정한 것이다.

수평선의 높이를 바꾸어 확인한 장면

교정 직후 같은 숫자를 반복하지 않기 위해, 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 이번에는 같은 함수에서 정의역을 -1≤x≤3/2로 바꾸고, y=k와의 교점 개수를 판단하게 했다. 학생은 이전처럼 x=1만 보지 않고 먼저

f(-1)=2, f(1)=-2, f(3/2)=-9/8

를 기록했다. 이어 도함수의 부호를 이용해 x=1이 내부 최솟값이라는 점과, -1 및 3/2가 끝점이라는 점을 구분했다. 특히 -9/8은 정지점에서 생긴 값이 아니라 오른쪽 끝점에서 생긴 값이라는 설명도 덧붙였다.

이제 k=-2, -9/8, 2가 모두 같은 종류의 후보가 아님을 구분할 수 있었다. k의 위치가 이 값들을 통과할 때 수평선이 구간 안의 그래프를 만나는 횟수가 달라질 수 있으므로, “삼차함수의 극값만 보면 된다”는 문장을 그대로 적용하지 않았다. 그래프관계와 해의 조건을 분리해, 실제로 구간에 포함된 부분만 세는 방식이었다.

힌트 없이 남은 판단

며칠 뒤 9월 모의평가의 유사 문항을 다시 풀 때는 해설을 덮어 두었다. 문제의 함수가 g(x)=x³-3x+1, 정의역이 0≤x≤2로 바뀌었지만 학생은 먼저 g(0)=1, g(1)=-1, g(2)=3을 계산했다. 그 후 x=1에서 생기는 내부 정지점과 양 끝점 후보를 따로 적었다.

마지막 검산에서는 후보를 단순히 나열하지 않고 각 값을 버리거나 유지한 이유를 남겼다. 도함수 부호가 바뀌지 않는 점은 극값 후보로 부풀리지 않았고, 끝점에서 얻은 값은 정의역에 실제로 포함되는지 다시 확인했다. 수평선의 높이를 후보값과 비교한 뒤에는 그래프의 교점 개수와 식의 해 조건이 서로 맞는지도 대조했다.

이제 학생의 풀이에는 “정지점만 확인”이라는 습관 대신, 정의역 설정 → 내부 임계점 확인 → 양 끝점 대입 → 경계값별 그래프 검토라는 순서가 남았다. 삼차함수 개형을 그릴 때 모양을 먼저 믿는 것이 아니라, 결론을 바꾸는 값을 직접 찾아 검증하는 판단이 새로운 문제에서도 유지된 것이다.