광주서구 중3수학과외
광주서구 중3수학과외, ‘두 해가 같다’는 말을 식으로 확인한 수업
광주서구의 금호동종원팰리스빌과 금호빛여울채가 있는 생활권, 그리고 대자중학교·광주화정중학교가 포함된 지역에서 중3수학 문제를 살펴보다 보면 이차방정식의 계산보다 중근을 어떻게 해석하는가에서 풀이가 갈리는 경우가 있습니다. 이번 수업에서도 학생은 답 자체보다 “두 해가 같다”는 조건의 의미를 놓치며 풀이를 시작했습니다.
한 줄로 적힌 답에서 드러난 첫 판단
문제는 다음과 같았습니다.
x²-6x+9=0의 두 해를 구하고, 두 해의 관계를 설명하여라.
학생은 식을 보고 곧바로 다음처럼 적었습니다.
x²-6x+9=(x-3)²이므로 x=3
여기까지의 계산은 맞았습니다. 이어서 학생은 “해는 3이다”라고만 썼습니다. 교과서에 나온 일반적인 이차방정식 문제에서는 서로 다른 두 값을 찾는 풀이를 많이 했기 때문에, 한 값이 나오면 해가 하나뿐이라고 판단한 것입니다. 하지만 이 식은
(x-3)²=0
이므로 곱해진 두 인수가 모두 0이 되어야 합니다. 따라서 첫 번째 해도 3, 두 번째 해도 3입니다. 해를 한 번만 적는 것과 해가 하나뿐이라는 판단은 다릅니다.
답이 틀어지기 전, 무엇을 확인하지 않았을까
학생의 최초 오류는 계산 결과가 아니라 식의 조건이 바뀌었는데도 해의 개수를 확인하지 않은 것이었습니다. 특히 “두 해가 같다”는 상황에서는 구한 값 하나만 보는 것이 아니라, 두 해를 각각 적어 같은 값인지 확인해야 합니다.
다음 문제에서 이 판단이 더 분명하게 나타났습니다.
x²-6x+8=0의 해를 구하여라.
학생은 앞 문제의 풀이 흔적을 보며 “비슷한 식이므로 x=3”이라고 적었습니다. 그러나 상수항이 9에서 8로 바뀌었습니다. 이때는 먼저 바뀐 식을 다시 정리해야 합니다.
x²-6x+8=(x-2)(x-4)
따라서 x=2 또는 x=4입니다. 두 해가 같은 경우가 아니라 서로 다른 두 해가 나온 것입니다.
바꾼 것은 ‘조건을 먼저 적는 행동’ 하나
풀이 전체를 다시 외우게 하지는 않았습니다. 학생이 처음 식을 읽을 때 다음 한 줄을 먼저 쓰도록 고쳤습니다.
“두 해를 각각 구한 뒤, 같은지 확인한다.”
그 뒤 계산은 학생이 이미 할 수 있었던 인수분해 방식을 그대로 사용했습니다. 처음 식에서는
(x-3)(x-3)=0
이므로 x=3, x=3이라고 두 번 적었습니다. 이렇게 쓰면 한 값이 반복되어 나타난다는 사실이 보이고, 이것이 중근이라는 의미도 자연스럽게 드러납니다. 반대로 x²-6x+8=0에서는 x=2, x=4로 달라지므로 중근이 아닙니다.
식의 모양과 질문을 바꾼 확인 문제
같은 개념을 단순히 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고 표현을 바꾸었습니다.
3x²-12x+12=0이 서로 다른 두 해를 갖는지 판단하고, 그렇지 않다면 그 이유와 해를 쓰시오.
이번에는 학생이 처음부터 공통인수를 묶었습니다.
3x²-12x+12=3(x²-4x+4)=3(x-2)²
방정식이므로 3을 없애면
(x-2)²=0
입니다. 따라서 두 해는 x=2, x=2로 같고, “서로 다른 두 해”라는 조건은 만족하지 않습니다. 앞 문제처럼 식이 처음부터 완전제곱꼴로 보이지 않아도, 정리한 뒤 같은 인수가 두 번 나타나는지를 확인해야 합니다.
힌트 없이 다시 세운 마지막 풀이
수업 마지막에는 다음 문제를 별도의 표시 없이 제시했습니다.
2x²+12x+18=0은 두 해가 같은가? 그렇다면 그 해를 구하고 원래 식에 대입하여 확인하여라.
학생은 먼저 공통인수 2를 묶어
2(x²+6x+9)=2(x+3)²
라고 정리했습니다. 이어서
2(x+3)²=0 → (x+3)²=0 → x=-3, x=-3
이라고 적고, 두 해가 같으므로 중근이라고 설명했습니다. 마지막으로 원래 식에 대입하여
2(-3)²+12(-3)+18=18-36+18=0
을 확인했습니다. 학생은 “한 값만 나왔기 때문이 아니라, 두 해를 각각 적었을 때 같은 값이 반복되고 원래 방정식도 만족하므로 중근이다”라고 설명했습니다. 광주서구과외와 광주서구중3수학과외에서 다룬 이번 핵심은 계산량이 아니라, 조건이 바뀌었을 때도 두 해를 끝까지 비교하는 판단이었습니다.