풍암동 중등수학과외

풍암동중등수학과외, 직육면체 높이를 바꿨을 때 겉넓이와 부피를 식으로 확인하기

가로 11, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하는 문제에서 답이 겉넓이 178제곱단위, 부피 132세제곱단위로 맞았더라도 확인은 더 필요합니다. 특히 높이가 달라져도 그대로인 면이 무엇인지 설명할 수 있어야 겉넓이의 ‘면의 합’과 부피의 ‘공간의 양’을 구분하게 됩니다. 풍암동중등수학과외에서는 정답을 다시 말하게 하기보다, 풀이 속 숫자 11, 3, 4가 각각 어느 면과 어느 곱셈에 들어갔는지 확인하는 방식으로 수업을 이어갈 수 있습니다.

밑면 두 개와 옆면 네 개를 나누어 겉넓이의 근거를 찾습니다

먼저 전개도에 밑면 두 개를 11×3, 옆면 네 개를 11×4 두 장과 3×4 두 장으로 표시합니다. 겉넓이는 2×(11×3)+2×(11×4)+2×(3×4)=66+88+24=178제곱단위입니다. 여기서 높이 4를 바꾸어도 넓이가 그대로인 면은 11×3인 밑면 두 개입니다. 가로와 세로가 11, 3으로 고정되어 있으므로 밑면 하나의 넓이 33제곱단위도 변하지 않습니다. 반면 11×4, 3×4로 적은 옆면에는 높이가 들어가므로 높이가 달라지면 넓이도 달라집니다. 학생이 말로 바로 설명하기 어렵다면 ‘높이가 없는 식에 표시하기’나 밑면과 옆면을 색으로 나누는 방법으로 같은 관계를 나타내게 할 수 있습니다. 짧은 표현만으로 이해 여부를 단정하지 않고, 그림·식·말 중 어느 방식으로 조건을 연결하는지 봅니다.

부피에서는 밑면 넓이에 높이가 곱해진다는 점을 분명히 합니다

부피는 겉을 덮는 면의 넓이를 더하는 값이 아니라, 밑면 위에 쌓인 공간의 양입니다. 따라서 11×3×4=132세제곱단위가 됩니다. 단위도 겉넓이의 제곱단위와 달리 세제곱단위여야 합니다. 풀이 기록에서는 먼저 11×3=33으로 밑면 넓이를 구하고, 그 위로 높이 4만큼 쌓인다고 보아 33×4=132로 적는 흐름이 중요합니다. “부피에서는 높이가 어떤 항에 곱해지나요?”라는 질문에는 11×3으로 구한 밑면 넓이 33에 4가 곱해진다고 근거를 보여 주면 됩니다. 검산은 11×3×4를 다시 계산해 33×4=132인지 확인하는 방식이 알맞습니다. 맞힌 답을 오답으로 바꾸는 것이 아니라, 같은 답이 왜 성립하는지 식의 구조까지 확인하는 과정입니다.

높이를 8로 바꾼 비교 문제에서 변하는 항만 다시 계산합니다

도움 없이 높이만 8로 바꾼 뒤에는 밑면 11×3 두 개는 여전히 66제곱단위이고, 옆면은 2×(11×8)=176, 2×(3×8)=48이 됩니다. 따라서 겉넓이는 66+176+48=290제곱단위입니다. 높이가 4에서 8로 두 배가 되었지만 밑면 66은 그대로이므로 겉넓이 전체가 178의 두 배가 되는 것은 아닙니다. 반면 부피는 11×3×8=264세제곱단위로, 밑면 넓이 33에 높이가 직접 곱해지므로 두 배가 됩니다. 이후에는 정답을 가린 상태에서 기본 문제의 고정된 면을 표시하고, 비교 문제에서 290과 264가 나온 식을 스스로 쓸 수 있는지 확인합니다. 밑면은 고정되고 옆면과 부피에 높이가 어떻게 들어가는지 근거를 제시할 수 있을 때 다음 입체도형 문제로 연결합니다.