풍암동 고등수학과외

풍암동 고등수학과외에서는 지수식과 로그식을 오갈 때 기호의 모양만 보고 성질을 적용하지 않도록 풀이 과정을 세밀하게 확인한다. 풍암고등학교 학생과 함께 풍암금호아파트 인근 학습 공간에서 다룬 식은 \(3^{x-5}\)였다. 겉으로는 간단하지만, 지수의 차를 로그의 합·차 구조로 바꾸는 순간 첫 오류가 자주 나타난다.

지수의 차를 로그의 차로 바꾸는 장면

학생에게 \(3^{x-5}=7\)을 풀게 하자 먼저 양변에 밑이 3인 로그를 취했다. 그러면

\(\log_3(3^{x-5})=\log_3 7\)

이고, 왼쪽은 \(x-5\)이므로 \(x=5+\log_3 7\)이다. 여기까지는 자연스럽게 진행됐다. 이어서 로그의 합·차 구조를 확인하기 위해 \(3^{x-5}\)를 분수 꼴로 바꾸어 보게 했다.

\(3^{x-5}=\dfrac{3^x}{3^5}\)이므로

\(\log_3(3^{x-5})=\log_3\left(\dfrac{3^x}{3^5}\right)=\log_3 3^x-\log_3 3^5=x-5\)

가 성립한다. 지수의 차가 밑이 같은 두 거듭제곱의 비에서 나온다는 점이 실제 연결 고리다.

처음 틀린 순간을 표시하다

학생은 식을 보자마자 “차가 있으니 로그도 뺄셈으로 나뉜다”고 적고,

\(\log_3(3^{x-5})=\log_3 3^x-\log_3 5\)

라고 썼다. 숫자 5를 그대로 로그의 진수로 옮긴 것이 첫 오류였다. 로그의 차 성질은 \(\log_a(M/N)=\log_a M-\log_a N\)에서 출발하므로, 분모는 \(5\)가 아니라 \(3^5\)여야 한다. 지수의 일부를 떼어 내는 것과 거듭제곱 전체를 분모로 만드는 것은 서로 다른 행동이다.

차 구조를 쓰기 전, 원래 식을 먼저 \(\dfrac{3^x}{3^5}\)로 복원한다.

한 단계만 다시 쓰는 교정 훈련

전체 풀이를 처음부터 반복하지 않고 오류가 난 줄만 고쳤다. 학생은 종이에 항 번호를 붙여 첫 항을 \(\log_3 3^x\), 둘째 항을 \(\log_3 3^5\)로 표시했다. 그 뒤 각각의 값을 계산해 \(x-5\)를 얻었다. 이 방식은 공식을 외워 적는 대신, 분자와 분모가 실제로 무엇인지 확인하게 한다.

조건을 바꾼 새 문제로 \(2^{y-3}=11\)을 제시했다. 학생은 먼저 \(2^{y-3}=\dfrac{2^y}{2^3}\)라고 적은 뒤

\(\log_2(2^{y-3})=\log_2 2^y-\log_2 2^3=y-3\)

를 혼자 완성했다. 따라서 \(y=3+\log_2 11\)이다. 밑과 진수를 바꾸었지만, 차의 구조를 만들 때 같은 밑의 거듭제곱을 분자와 분모에 배치하는 절차는 유지됐다.

특수한 값으로 확인한 마지막 검산

공식이 실제로 맞는지 \(x=5\)를 넣었다. 원식은 \(3^{5-5}=1\)이고, 변형식도 \(\dfrac{3^5}{3^5}=1\)이다. 로그를 취하면 양쪽 모두 \(\log_3 1=0\)이 된다. 반대로 잘못 적은 \(\log_3 3^x-\log_3 5\)는 \(x=5\)일 때 \(5-\log_3 5\)가 되어 0이 아니다. 특수값 하나만 대입해도 분모를 잘못 옮긴 오류가 드러난다.

풍암동의 이야기꽃도서관에서 복습할 때는 식 옆에 ‘분자·분모 확인’만 짧게 적고, 로그 성질을 적용하기 전 원식을 한 번 분수로 바꾸도록 했다. 이 순서가 익숙해지면 조건이 추가된 지수방정식에서도 성질을 성급히 확정하는 일이 줄어든다.

자주 묻는 내용

지수의 차는 언제 로그의 뺄셈이 되나요?

같은 밑의 거듭제곱 비로 바꿀 수 있을 때입니다. \(a^{m-n}=a^m/a^n\)이 먼저 성립해야 합니다.

\(\log_a(M-N)\)도 로그의 차로 나눌 수 있나요?

그럴 수 없습니다. 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈과 연결되며, 진수의 뺄셈에는 적용되지 않습니다.

밑이 꼭 3이어야 하나요?

아닙니다. 밑이 1이 아닌 양수이고 분자와 분모에서 같으면 같은 방식으로 전개됩니다.

검산에서 어떤 값을 넣으면 좋나요?

지수를 0으로 만드는 값을 넣으면 원식과 변형식이 모두 1이 되어 구조를 빠르게 비교할 수 있습니다.