용봉동 중3수학과외

용봉동 중3수학과외에서 확인한 이차방정식의 해 검산

용봉주공과 쌍용예가가 있는 생활권, 무진교육문화센터문고 인근에서 중3 수학 풀이를 점검하다 보면 이차방정식의 계산보다 마지막 확인에서 실수가 드러나는 경우가 있습니다. 이번에는 광주경신중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 바탕으로, 구한 해를 반드시 원래 이차방정식에 대입해 검산하는 한 가지 기준만 살펴보았습니다. 용봉동과외와 용봉동중3수학과외에서도 이처럼 풀이의 마지막을 결과 확인으로 연결하는 연습을 진행합니다.

서로 다른 식이 같은 조건을 말할 때

도서관 자습 시간에 학생은 다음 문제를 풀었습니다.

방정식 x²-5x+6=0의 두 해를 구하고, 구한 값이 원래 방정식을 만족하는지 확인하여라.

학생은 식을 보고 다음처럼 적었습니다.

x²-5x+6=(x-2)(x-3)

x=2 또는 x=3

여기까지의 계산은 맞았습니다. 이어서 노트 오른쪽에 두 표현을 나란히 놓았습니다.

• x²-5x+6=0
• (x-2)(x-3)=0

학생은 두 식이 같은 방정식을 나타낸다는 점도 알고 있었습니다. 그러나 “해는 2와 3”이라고 바로 결론을 적고, 원래 식에 값을 넣는 과정은 생략했습니다. 특히 2를 대입했을 때는 확인했지만, 3을 대입하지 않은 채 풀이를 끝내려 했습니다.

결과가 틀어지기 전의 한 판단

이 풀이에서 가장 먼저 어긋난 판단은 인수분해한 식에서 해가 보인다는 이유로 원래 식의 조건을 다시 확인하지 않은 것입니다. 식의 모양이 바뀌었더라도 문제에서 요구한 검산 대상은 처음 주어진 x²-5x+6=0입니다. 학생은 두 표현의 관계는 확인했지만, 각 해가 원래 식을 실제로 만족하는지는 확인하지 않았습니다.

이 판단을 그대로 두면 계산 결과가 맞더라도 풀이의 근거가 약해집니다. 예를 들어 식을 옮기는 과정에서 부호를 잘못 적었다면 인수분해된 식에서 얻은 값이 원래 방정식의 해가 아닐 수 있기 때문입니다. 여기서 다른 풀이법을 추가하는 것이 아니라, 빠뜨린 대입 한 단계만 되살리는 것이 필요했습니다.

빠뜨린 대입 한 단계만 되돌리기

학생은 이미 구한 2와 3을 그대로 사용하고, 처음 식에 차례로 넣었습니다.

x=2일 때, 2²-5×2+6=4-10+6=0

x=3일 때, 3²-5×3+6=9-15+6=0

두 값 모두 원래 방정식의 왼쪽에 대입했을 때 0이 되므로, 구한 해가 처음 제시된 식의 조건을 만족한다는 결론을 쓸 수 있습니다. 이미 맞았던 인수분해와 계산은 바꾸지 않고, 확인하지 않았던 해 하나까지 원래 식에 대입한 것이 교정의 전부였습니다.

이때 학생은 “(x-2)(x-3)=0에서 해를 얻었으니 끝”이라고 쓰지 않고, “원래 식에 각각 대입한 결과가 모두 0이므로 x=2, 3은 원래 방정식의 해이다”라고 정리했습니다. 표현이 달라진 식과 처음 식 사이에서 공통으로 확인해야 할 것은 해, 계수와 부호, 그리고 등식의 오른쪽 값 0이었습니다.

문장의 방향이 바뀐 문제에 적용하기

며칠 뒤에는 식의 배열이 아닌 문장 조건을 먼저 읽는 문제를 제시했습니다.

어떤 수 x에 대하여 x²+2x-8=0이다. 이 방정식의 해 중 작은 수를 a라 할 때, a를 원래 방정식에 대입하여 조건을 확인하여라.

이번에는 학생이 먼저 “작은 해를 찾으라”는 조건에 밑줄을 그었습니다. 그리고

x²+2x-8=(x+4)(x-2)

x=-4 또는 x=2

라고 정리한 뒤, 질문의 방향에 따라 작은 해를 a=-4로 선택했습니다. 이전 문제처럼 두 해를 똑같이 나열하는 데 그치지 않고, 문장에 제시된 조건이 어느 값을 요구하는지 먼저 확인한 점이 달라졌습니다. 그런 다음 원래 식에 a를 넣었습니다.

(-4)²+2×(-4)-8=16-8-8=0

따라서 a=-4는 처음 방정식을 만족합니다. 이 문제에서는 ‘작은 해’라는 조건과 원래 식의 등식 0을 함께 확인해야 했습니다. 인수분해된 모양만 보고 2를 선택했다면 질문의 방향을 놓치게 됩니다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

방정식 2x²-x-6=0의 해 중 큰 해를 b라 하자. b가 원래 방정식의 해인지 대입하여 확인하여라.

학생은 먼저 계수와 부호를 확인한 뒤 식을

2x²-x-6=(2x+3)(x-2)

로 바꾸고, 해를 x=-3/2, 2로 적었습니다. ‘큰 해’라는 조건에 따라 b=2를 선택한 뒤, 원래 식에 대입했습니다.

2×2²-2-6=8-2-6=0

학생은 “b=2를 원래 방정식에 대입한 값이 0이므로 b는 조건을 만족하는 해이다”라고 마무리했습니다. 이번에는 식의 표현, 해의 선택 방향, 원래 방정식의 대입 결과를 스스로 이어 붙였습니다. 구한 값만 적는 것이 아니라 처음 식에 되돌려 넣어 0이 되는지 확인하는 것이 이차방정식 풀이의 완성임을 독립적으로 재현한 장면입니다.