용봉동 고등수학과외

용봉동 고등수학과외에서는 로그함수의 그래프를 그릴 때 계산 결과만 맞히는 데서 끝내지 않고, 식의 정의역이 그래프의 점근선과 어떻게 이어지는지 확인하는 연습을 진행합니다. 광주경신여자고등학교나 전남대학교사범대학부설고등학교를 준비하는 학생이라도 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 문제에 나타난 조건을 식과 그래프로 번역하는 힘을 먼저 다룹니다. 용봉주공과 쌍용예가 주변에서 학습하는 학생들이 무진교육문화센터문고에서 정리한 오답을 다시 펼쳐 보는 경우에도 이 주제를 자주 확인합니다.

6^x=36에서 멈춘 이유

학생에게 다음 식을 제시했습니다.

6^x=36

학생은 36을 6²으로 바꾸어 x=2를 얻었습니다. 여기까지의 계산은 맞았습니다. 그런데 이어서 “이 식의 로그함수 그래프에서 정의역과 점근선은 어떻게 확인할까?”라고 묻자 풀이를 멈췄습니다. 학생의 첫 오류는 6^x=36을 단순히 지수방정식으로만 보고, 로그함수와 연결되는 식을 만들지 않은 데 있었습니다. 그래프에 교점 하나를 표시한 뒤 그 점이 왜 필요한지, 점근선이 어디에서 생기는지 설명하지 못한 것도 같은 원인에서 나왔습니다.

지수식과 로그식의 연결을 다시 세우기

먼저 밑 6이 양수이고 1이 아니므로 역함수 관계를 사용할 수 있음을 확인했습니다. 양변에 밑이 6인 로그를 취하면

log₆(6^x)=log₆36

이므로 x=log₆36=2입니다. 여기서 로그함수 y=log₆x를 생각하면 입력 x에는 반드시 x>0이라는 조건이 붙습니다. 이 조건이 바로 정의역입니다. x가 0에 가까운 양수가 되면 log₆x의 값은 계속 작아지고, x=0에서는 로그가 정의되지 않습니다. 따라서 그래프는 x=0을 넘을 수 없고, 직선 x=0이 수직점근선이 됩니다.

학생이 처음에는 “해가 x=2이니 점근선도 x=2인가요?”라고 물었습니다. 이를 바로잡기 위해 해와 점근선을 분리했습니다. x=2는 6^x=36을 만족하는 특정 값이고, x=0은 log₆x의 입력이 허용되는 경계에서 생기는 그래프의 선입니다. 두 값은 역할이 다릅니다. 로그식 y=log₆x와 수평선 y=2의 교점은 (36, 2)이며, 지수식 y=6^x와 수평선 y=36의 교점은 (2, 36)입니다. 서로 역함수인 두 그래프가 y=x에 대칭이라는 점까지 함께 표시하자 식과 그래프의 위치가 뒤섞이지 않았습니다.

조건을 바꿔 혼자 적용하기

다음에는 식의 구간과 계수를 바꾸었습니다.

y=log₃(2x-4), 2x-4>0

학생은 먼저 2x-4>0에서 x>2를 얻고, 정의역의 경계 x=2를 적었습니다. 이어서 로그 안의 식이 0에 가까워지는 상황을 생각해 y가 크게 작아지므로 수직점근선은 x=2라고 판단했습니다. 앞의 x=0을 외워서 쓰지 않고, 로그 안쪽이 0이 되는 위치를 새로 계산한 점이 달라진 부분입니다.

이번에는 계수를 더한 식도 확인했습니다.

y=log₃(5-x)+1

정의역은 5-x>0, 즉 x<5입니다. 따라서 경계는 x=5이고 수직점근선도 x=5입니다. 바깥의 +1은 그래프를 위아래로 이동시키지만 정의역의 경계와 수직점근선 위치는 바꾸지 않습니다. 학생은 안쪽 식의 계수와 바깥의 이동항을 구분해 혼자 결론을 작성했습니다.

마지막에는 식으로 되돌아가 확인하기

검산은 그래프를 다시 그리는 대신 원래 식에 대입하는 방식으로 진행했습니다. y=log₃(2x-4)의 그래프에서 x=3을 넣으면 y=log₃2이고, x가 2보다 큰 값으로 2에 가까워질수록 2x-4는 양수에서 0에 가까워집니다. 그러면 로그값은 아래로 끝없이 작아집니다. 반대로 x=2를 대입하면 log₃0이 되어 식 자체가 정의되지 않습니다. 이 재대입으로 x=2가 단순한 경계가 아니라 그래프가 닿을 수 없는 수직선임을 확인했습니다.

로그함수의 점근선은 해의 값에서 찾는 것이 아니라 로그 안의 식이 0이 되는 정의역의 경계에서 확인한다.

자주 묻는 질문

6^x=36의 답은 무엇인가요?

36=6²이므로 x=2입니다. 이 값만으로 로그함수의 점근선을 정하지는 않습니다.

y=log₆x의 정의역은 왜 x>0인가요?

로그의 진수는 양수여야 하므로 x=0과 음수는 입력할 수 없습니다.

y=log₃(2x-4)의 점근선은 어떻게 구하나요?

2x-4=0을 풀어 x=2를 얻습니다. 정의역 x>2의 경계와 수직점근선이 같은 위치입니다.

로그 앞의 계수나 바깥 상수는 점근선을 바꾸나요?

로그 앞의 곱셈이나 바깥의 덧셈은 그래프의 높이와 방향에 영향을 주지만, 수직점근선은 로그 안쪽이 0이 되는 경계에서 결정됩니다.