LearnMap

용봉동 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

원탁에서 이웃 조건을 놓친 풀이

학생은 6명이 원탁에 앉는 경우의 수를 구하며 두 사람 A, B가 이웃하는 조건을 처리했다. 처음에는 6명을 일렬로 배열한 뒤 양끝의 경우까지 따로 더하려 했지만, 원순열에서는 회전한 배치를 같은 것으로 본다는 점과 원탁의 양끝이 서로 연결된다는 점을 함께 정리하지 못했다.

오류가 발생한 지점

A와 B를 한 묶음으로 보면 묶음 1개와 나머지 4명을 원탁에 배치하므로 원 위의 객체 수는 5개이다. 따라서 축소된 원순열은 (5-1)! = 4!가지이다.

그러나 묶음 내부에서 A, B의 순서가 AB 또는 BA로 달라질 수 있으므로 2를 곱해야 한다.

교정된 계산

따라서 경우의 수는

4! × 2 = 48

이다. 묶음 내부 순서를 빠뜨린 4! = 24는 절반만 센 풀이이므로 오류로 분류했다.

같은 원리를 새 조건에 적용하기

이번에는 6명 중 세 사람 A, B, C가 원탁에서 연속하도록 앉는 경우를 살펴보자. 세 사람을 하나의 묶음으로 생각하면 묶음과 나머지 세 사람, 총 4개의 객체를 원탁에 배열한다.

세 사람 연속 배치

축소된 원순열은 (4-1)! = 3!가지이고, 묶음 안에서 세 사람의 순서는 3!가지이다.

따라서 전체 경우의 수는

3! × 3! = 36

이다. 두 사람 문제에서처럼 축소된 원순열과 묶음 내부 순서를 모두 곱해야 한다.

검증 기준

풀이를 확인할 때는 먼저 원탁인지 일렬인지 구분하고, 조건을 만족하는 사람들을 묶은 뒤, 줄어든 객체의 원순열을 계산한다. 마지막으로 묶음 내부의 배열을 곱한다. 이 순서를 유지하면 용봉동과외에서 다루는 원순열 변형 문제에서도 같은 오류를 줄일 수 있다.

용봉동 고2수학과외 학부모 후기

모의고사를 본 날 밤, 책상 주변을 치우다가 아이가 서술형 답안을 통째로 지운 흔적을 보게 됐어요. 답만 고친 게 아니라 중간에 적었던 식부터 다시 써 놓았더라고요. 어디서부터 잘못됐는지 확인하려고 한 것 같아 잠깐 눈길이 갔습니다. 용봉동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이 부분이 기억에 남았어요. 예전에는 다시 살펴볼 문제여도 표시를 따로 해두지 않아 나중에 찾기 어려웠는데, 이번 자료에는 다시 볼 곳이 구체적으로 남아 있었습니다. 답안 전체를 건드리기보다 틀린 중간식부터 손본 점도 전과 달랐고요. 학교 숙제를 하던 날에는 그 모습이 더 분명했어요. 풀이를 처음부터 다시 쓰지 않고 잘못된 식이 있는 자리부터 고친 뒤, 나중에 확인할 자료가 한눈에 보이도록 따로 정리해 두었더라고요.

★★★★★학부모 후기

주말 늦은 오후에 방에 잠깐 들어갔다가 문제집을 펼쳐 보게 됐어요. 어려워 보이는 문제 옆에 별표가 아니라 계산 줄 번호가 적혀 있더라고요. 어디부터 다시 볼지 표시해 둔 모양이라, 예전처럼 답이 안 나오면 처음부터 전부 다시 하던 모습과는 조금 달라 보이더라고요. 용봉동 수학과외 이야기를 나누면서도 저는 이런 작은 변화가 눈에 띄었습니다. 틀린 문제를 통째로 붙잡고 있기보다 계산 과정을 나눠서 살펴보려는 것 같았거든요. 며칠 뒤 교과서를 복습하던 밤에도 같은 식으로 다시 확인할 계산 줄을 적어 두었어요. 복습을 마친 뒤에도 그 위치를 지우지 않고 그대로 남겨 둔 채 책을 정리하더라고요.

★★★★★학부모 후기

용봉동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 모르는 문제가 나와도 혼자 끙끙대며 정답만 확인하려 했습니다. 선생님은 풀이를 재촉하지 않고 아이가 막힌 부분을 살피며 질문할 내용을 스스로 정리하게 했고, 밀린 숙제도 우선순위를 나눠 부담 없이 다시 배분했습니다. 수업을 마친 뒤에는 무엇을 복습해야 하는지 먼저 확인하고 질문을 준비하는 모습이 보여 부모로서 작은 변화를 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

용봉동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 수업에서 무엇을 했는지 집에서 먼저 이야기하는 날이 늘었습니다. 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명하게 하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나누어 부담을 줄여주셨습니다. 시험기간에는 생활 일정에 맞춰 계획을 다시 조정해 주셔서, 틀린 이유를 답보다 먼저 생각하려는 모습이 보이기 시작했습니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 뒤 다음 공부 계획을 의논하는 선생님과 아이의 대화가 편안해 보여 안심됐습니다. 용봉동에서 수업을 시작할 때는 한 문제에 오래 머물렀지만, 어려운 문제와 쉬운 문제를 적절히 섞고 스스로 풀 시간을 남겨 주셔서 요즘은 숙제도 한결 차분히 해냅니다.

★★★★★학부모 후기