용봉동 고2수학과외







원탁에서 이웃 조건을 놓친 풀이
학생은 6명이 원탁에 앉는 경우의 수를 구하며 두 사람 A, B가 이웃하는 조건을 처리했다. 처음에는 6명을 일렬로 배열한 뒤 양끝의 경우까지 따로 더하려 했지만, 원순열에서는 회전한 배치를 같은 것으로 본다는 점과 원탁의 양끝이 서로 연결된다는 점을 함께 정리하지 못했다.
오류가 발생한 지점
A와 B를 한 묶음으로 보면 묶음 1개와 나머지 4명을 원탁에 배치하므로 원 위의 객체 수는 5개이다. 따라서 축소된 원순열은 (5-1)! = 4!가지이다.
그러나 묶음 내부에서 A, B의 순서가 AB 또는 BA로 달라질 수 있으므로 2를 곱해야 한다.
교정된 계산
따라서 경우의 수는
4! × 2 = 48
이다. 묶음 내부 순서를 빠뜨린 4! = 24는 절반만 센 풀이이므로 오류로 분류했다.
같은 원리를 새 조건에 적용하기
이번에는 6명 중 세 사람 A, B, C가 원탁에서 연속하도록 앉는 경우를 살펴보자. 세 사람을 하나의 묶음으로 생각하면 묶음과 나머지 세 사람, 총 4개의 객체를 원탁에 배열한다.
세 사람 연속 배치
축소된 원순열은 (4-1)! = 3!가지이고, 묶음 안에서 세 사람의 순서는 3!가지이다.
따라서 전체 경우의 수는
3! × 3! = 36
이다. 두 사람 문제에서처럼 축소된 원순열과 묶음 내부 순서를 모두 곱해야 한다.
검증 기준
풀이를 확인할 때는 먼저 원탁인지 일렬인지 구분하고, 조건을 만족하는 사람들을 묶은 뒤, 줄어든 객체의 원순열을 계산한다. 마지막으로 묶음 내부의 배열을 곱한다. 이 순서를 유지하면 용봉동과외에서 다루는 원순열 변형 문제에서도 같은 오류를 줄일 수 있다.