하남동 중2수학과외

하남동 중2수학과외에서 살펴본 연립방정식의 공통 해

이번 하남동과외 수업의 핵심은 답을 빨리 구하는 것이 아니라 두 식의 공통 해가 언제 생기고, 조건이 바뀔 때 어떤 판단을 먼저 해야 하는지 구분하는 일이었다.

첫 줄에서 드러난 판단

학생은 다음 연립방정식을 보고 풀이를 시작했다.

2x+3y=13
4x-3y=5

학생은 두 식을 세로로 맞춰 적은 뒤 y의 계수가 3과 -3이라는 것을 보고 표시했다. 이어 두 식을 더해 6x=18, x=3을 얻었고, 첫 번째 식에 대입하여 6+3y=13, y=7/3이라고 계산했다. 계산한 값을 두 식에 넣어 13과 5가 나오는지 검산하려고 풀이 칸 한쪽을 비워 두었다.

그런데 다음 문제에서 두 번째 식의 부호가 바뀌었다.

2x+3y=13
4x+3y=19

학생은 앞 문제에서 했던 것처럼 두 식을 더하려고 했다. 이 순간이 결과가 틀어진 뒤가 아니라, 풀이가 어긋나기 시작한 최초의 판단이었다. y의 계수가 서로 반대인지 확인하지 않고, 이전 문제의 가감 방향을 그대로 가져온 것이다. 실제로 더하면 6x+6y=32가 되어 어느 미지수도 사라지지 않는다.

부호를 먼저 비교하는 교정

이미 맞게 한 과정인 식을 세로로 정렬하고 계수를 읽는 행동은 유지했다. 다만 계산 전에 없앨 미지수의 계수와 부호를 두 식에서 함께 확인하도록 한 줄을 추가했다.

• 같은 계수, 반대 부호이면 두 식을 더한다.
• 같은 계수, 같은 부호이면 한 식을 다른 식에서 뺀다.
• 계수가 다르면 먼저 한 식 또는 두 식에 곱해 계수를 맞춘다.

두 번째 문제에서는 y의 계수가 모두 3이므로 첫 번째 식에서 두 번째 식을 뺐다. (2x+3y)-(4x+3y)=13-19가 되어 -2x=-6, x=3을 얻는다. 첫 번째 식에 x=3을 대입하면 6+3y=13이므로 y=7/3이다. 학생은 이번에는 구한 값을 두 원래 식에 각각 넣어 좌변이 13, 19가 되는지 확인했다. 하나의 식만 확인하지 않고 두 식을 모두 검산해야 공통 해라는 조건을 확인할 수 있다는 점도 풀이 옆에 적었다.

공통 해가 사라지는 경계도 확인하기

같은 수업에서 계수와 조건을 바꾼 문제를 표와 문장으로 제시했다.

두 직선에 해당하는 식이 다음과 같다.
3x+2y=8
6x+4y=17

학생은 두 번째 식의 왼쪽이 첫 번째 식의 왼쪽에 2를 곱한 모양임을 표시했다. 첫 번째 식 전체에 2를 곱하면 6x+4y=16인데, 실제 오른쪽은 17이었다. 따라서 두 식을 빼면 0=1이 되어 동시에 만족하는 x, y가 없다고 설명했다. 반대로 오른쪽도 16이라면 두 식이 같은 식이 되어 해가 하나로 정해지는 것이 아니라 여러 값이 가능하다는 점을 구분했다.

이 장면에서 학생은 ‘계수가 비례하면 무조건 해가 없다’고 말하려다 멈추고, 왼쪽 계수의 비례 여부와 오른쪽 상수항의 비례 여부를 함께 비교해야 한다고 고쳐 말했다. 계수만 보고 결론을 내리지 않고 상수항까지 확인하는 것이 공통 해의 경계를 판단하는 기준이었다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음에는 식을 바로 주지 않고 두 상품의 가격을 x원, y원으로 정한 표를 보여 주었다. 두 개와 한 개의 합이 13,000원이고, 네 개와 한 개의 합이 19,000원이라는 문장을 읽은 학생은 먼저

2x+y=13000
4x+y=19000

을 세웠다. 이번에는 y의 계수가 같고 부호도 같으므로 첫 번째 식을 두 번째 식에서 빼야 한다고 스스로 말한 뒤, 2x=6000에서 x=3000, y=7000을 구했다. 질문을 “두 상품의 가격은?”에서 “첫 번째 상품 두 개의 가격은 두 번째 상품 한 개보다 얼마 싼가?”로 바꾸자 2x와 y를 각각 계산 결과에 대입해 1,000원이라고 답했다. 식의 모양과 질문 방향이 달라졌지만, 계수와 부호를 먼저 비교하는 판단은 그대로 사용했다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

마지막 문제는 학생이 조건을 직접 나누어 판단하도록 했다.

ax+2y=6
2ax+4y=12

학생은 두 번째 식의 왼쪽이 첫 번째 식의 2배가 되려면 오른쪽도 12가 되어야 하므로, 이 식에서는 두 식이 같은 식으로 겹친다고 설명했다. 이어 a의 값이 달라져도 두 번째 식은 첫 번째 식 전체의 2배이므로 공통 해가 여러 개라는 점을 확인했다. 반대로 두 번째 식의 오른쪽이 13이라면 왼쪽은 첫 번째 식의 2배인데 상수항은 다르므로 0=1 형태가 되어 공통 해가 없다고 말했다.

학생은 도움 없이 “먼저 없앨 미지수의 계수와 부호를 비교하고, 계수가 비례하면 상수항도 같은 비율인지 확인한 뒤, 구한 값은 두 원래 식에 모두 대입한다”고 풀이 이유를 설명했다. 하남동중2수학과외에서 확인한 변화는 정답 하나가 아니라, 부호와 조건이 바뀐 새 문제에서도 첫 판단과 검산 근거를 스스로 세운 장면이었다.