하남동 중3수학과외

하남동 중3수학과외에서 확인한 근의 공식의 경계

하남동과외 수업에서 단원평가 직전 풀이를 살펴보니, 계산 능력보다 먼저 확인해야 할 부분에서 답이 갈리고 있었습니다.

공식보다 먼저 읽어야 했던 한 줄

문제는 다음과 같았습니다.

방정식 2x²-5x-3=0의 두 해를 근의 공식으로 구하여라.

학생은 먼저 식 옆에 다음처럼 적었습니다.

a=2, b=5, c=-3

그 뒤 근의 공식에 대입하여

x=( -5±√(25+24) )/4=(-5±7)/4

라고 계산했습니다. 따라서 x=1/2 또는 -3이라고 결론을 냈습니다. 하지만 이 식의 x항은 -5x이므로, 계수 b는 5가 아니라 -5입니다. 계산 도중 부호를 바꾼 것이 아니라, 공식에 들어갈 값을 처음 읽는 순간 판단이 어긋난 것입니다.

이 오류를 찾기 위해 계산 결과만 보고 “공식이 틀렸다”고 하지 않았습니다. 원래 식을 다시 보며 x² 앞의 수, x 앞의 수, 상수항을 순서대로 표시했습니다.

• x²의 계수: a=2
• x의 계수: b=-5
• 상수항: c=-3

바꾼 것은 계수 확인 한 단계뿐

이미 알고 있던 공식과 계산 순서는 그대로 두고, 식에서 읽은 값을 먼저 적는 행동만 바로잡았습니다.

x={-(-5)±√{(-5)²-4·2·(-3)}\over 2·2}

이제 분자 안에서 -(-5)=5이고, (-5)²=25입니다. 따라서

x={5±√{25+24}\over4}={5±7\over4}

이므로 x=3 또는 x=-1/2입니다. 처음 풀이에서 맞았던 분모 4와 4·2의 계산은 그대로 유지하고, b의 부호만 원래 방정식에서 다시 읽었습니다.

수업에서는 식이 일반적인 모양인지도 함께 확인했습니다. 근의 공식은 ax²+bx+c=0 꼴에서 a, b, c를 읽어 사용하는 것이므로, 문제의 식이 이미 이 모양인지 살펴봐야 합니다. 예를 들어 3x²+2x=8이라면 바로 a=3, b=2, c=8이라고 쓰면 안 됩니다. 먼저

3x²+2x-8=0

으로 바꾼 뒤 a=3, b=2, c=-8을 읽어야 합니다. 여기서도 다른 풀이법으로 넘어가지 않고, 공식에 넣을 세 계수와 원문의 조건만 확인했습니다.

모양과 질문을 바꾼 연습 문제

다음 문제는 숫자만 바꾼 것이 아니라 식의 항 배치와 조건의 위치를 바꾸었습니다.

어떤 수 x가 x(4x-1)=3을 만족할 때, x의 값을 모두 구하여라. 단, 이 식은 이차방정식의 형태로 정리한 뒤 근의 공식을 사용한다.

학생은 먼저 우변을 왼쪽으로 옮겨

4x²-x-3=0

이라고 썼습니다. 이어서 식에 표시하지 않고 곧바로 공식을 적던 이전 습관 대신,

• a=4
• b=-1
• c=-3

을 나란히 기록했습니다. 질문이 “양의 해”가 아니라 “x의 값을 모두” 구하는 것이므로 두 부호를 모두 사용해야 한다는 점도 문제 문장에서 확인했습니다.

x={-(-1)±√{(-1)²-4·4·(-3)}\over8}

={1±√49\over8}={1±7\over8}

이므로 x=1 또는 x=-3/4입니다. 이번에는 계수의 부호뿐 아니라, 식을 표준형으로 만든 뒤 읽어야 한다는 조건과 두 해를 모두 묻는 질문의 방향까지 스스로 반영했습니다.

힌트 없이 다시 확인한 기록

며칠 뒤에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 풀게 했습니다.

5-2x=3x²일 때 x의 값을 모두 구하여라.

학생은 먼저

3x²+2x-5=0

으로 정리한 다음, 공식을 쓰기 전에 “a=3, b=2, c=-5, 두 해 모두”라고 적었습니다.

x={-2±√{2²-4·3·(-5)}\over6}

={-2±√64\over6}={-2±8\over6}

에서 x=1 또는 x=-5/3을 얻었습니다. 마지막에는 두 값을 원래 식에 각각 대입했습니다. x=1이면 5-2=3이고 3·1²=3입니다. x=-5/3이면 5+10/3=25/3이며, 3·25/9=25/3입니다. 두 값 모두 원래 방정식과 일치하므로, 이번에는 식의 형태를 먼저 정리하고, a·b·c의 부호와 질문 조건을 확인한 뒤, 원래 식에 대입해 검산한다는 판단을 도움 없이 재현했습니다. 이것이 하남동중3수학과외에서 확인한 근의 공식 풀이의 핵심 경계입니다.