하남동 고등수학과외

하남동 고등수학과외에서는 상용로그 단서가 문제의 앞부분에서 빠졌을 때 학생이 어떤 순서로 해석하는지 살펴보며 로그의 정수부분과 소수부분을 다룬다. 수완고등학교와 정광고등학교의 학습 자료를 참고할 때도 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 풀이 과정에서 실제로 생기는 오류를 확인하는 데 초점을 둔다. 하남주공1단지와 이야기꽃도서관 인근에서 공부한 한 학생은 log_x8을 보자마자 후보 밑을 대입하기 시작했다.

후보해보다 먼저 확인해야 할 밑

학생은 x=2를 넣어 log₂8=3을 얻은 뒤, “정수부분은 3이고 소수부분은 0”이라고 적었다. 여기까지는 x=2라는 후보에 대한 계산으로는 맞았다. 문제는 이어서 상용로그의 정수부분과 소수부분을 묻는 상황에서도 같은 방식으로 처리했다는 점이다. 밑이 10인 로그인지, 밑이 x인 로그인지 구분하지 않은 채 후보해의 결과를 상용로그의 결과처럼 옮긴 것이다.

처음 잘못된 순간은 log_x8을 log 8로 바꾸면서 분모인 log x를 빠뜨린 때였다.

log_x8 = log 8 / log x

따라서 x=2일 때에는 log 8/log 2=3이지만, 상용로그 자체인 log 8은 약 0.9031이다. 상용로그에서는 0 이상 1 미만인 부분이 소수부분이므로 정수부분은 0, 소수부분은 약 0.9031이다. 학생이 적은 3과 0은 밑이 2인 로그의 값에 대한 해석이지, log 8의 해석이 아니었다.

정수부분과 소수부분을 다시 분리하기

교정할 때는 답을 지우고 식의 밑부터 표시하게 했다. log 8은 8이 1과 10 사이에 있으므로 값이 0과 1 사이에 있다. 또 10⁰<8<10¹이므로 정수부분은 0이다. 소수부분은 전체 값에서 정수부분을 뺀 값이므로 log 8-0=log 8이다.

그다음 밑을 바꾼 후보를 혼자 적용하게 했다. x=4라면

log₄8 = log 8 / log 4 = 3/2

가 된다. 이 값의 정수부분과 소수부분은 각각 1과 0.5이다. 반면 log 8의 정수부분과 소수부분은 여전히 0과 약 0.9031이다. 밑이 달라지면 로그값의 정수부분도 달라질 수 있으므로, 후보해를 확인한 결과를 상용로그에 그대로 옮길 수 없다는 사실을 스스로 설명하게 했다.

반대로 적었을 때 생기는 문제

학생은 다음 문제에서 8의 상용로그를 정수부분 0, 소수부분 약 0.9031이 아니라 정수부분 약 0.9031, 소수부분 0으로 적었다. 이 값으로 10^0.9031을 계산하면 약 8이 되어 겉보기에는 그럴듯해 보였다. 그러나 정수부분은 정수여야 하며, 0.9031은 정수부분이 될 수 없다.

두 해석을 구별하는 검산도 진행했다. 정수부분을 0으로 두면

log 8 = 0 + 0.9031

이고, 지수로 되돌렸을 때 10^0.9031이 약 8이 된다. 반대로 정수부분과 소수부분을 뒤집으면 0.9031+0이라는 값 자체는 같아 보여도 정수부분의 정의를 위반한다. 값의 합만 맞는지 보지 않고 각 부분의 조건까지 확인해야 한다는 점이 드러난 장면이다.

자주 묻는 점

상용로그의 밑은 항상 무엇인가?

별도 표기가 없을 때 상용로그의 밑은 10이다. 다만 문제에서 밑을 x로 표시했다면 먼저 밑의 조건과 변환식을 확인해야 한다.

정수부분은 로그값의 앞자리 숫자인가?

아니다. 로그값을 정수부분과 소수부분의 합으로 나타낼 때 정수부분은 정수여야 한다. 0.9031의 정수부분은 0이다.

log_x8에서 x=2를 넣으면 상용로그도 3인가?

아니다. log₂8=3이고, log 8은 약 0.9031이다. 밑이 다르므로 값도 다르다.

소수부분은 항상 0 이상 1 미만인가?

일반적인 로그값의 정수부분을 내림으로 정하면 그렇다. 음수 로그에서도 단순히 소수점 뒤 숫자를 소수부분으로 읽지 않도록 정의를 확인해야 한다.