첨단2지구 중2수학과외

첨단2지구 중2수학과외에서 살펴본 대입법의 한 줄

학생은 문제를 보자마자 한 미지수를 이미 정리해 둔 식부터 찾았다.

한 식만 맞으면 된다고 생각한 순간

문제는 다음과 같았다.

y=2x+1, 3x+y=13을 풀어라.

학생은 첫 번째 식에서 y를 2x+1로 표시하고, 두 번째 식의 y 자리에 2x+1을 넣었다. 노트에는 3x+(2x+1)=13, 이어서 5x=12, x=12/5라고 적었다. 여기까지는 대입 과정이 정확했다. 학생은 x를 첫 번째 식에 넣어 y=29/5를 구한 뒤, 두 값을 답으로 옮겼다.

그런데 다음 문제에서 식의 순서가 바뀌었다.

2x+y=9, y=3x-1일 때 x와 y의 값을 구하여라.

학생은 2x+y=9에 나온 y를 먼저 사용해야 한다고 판단했다. y=3x-1을 대입하는 대신 첫 번째 식을 남겨 둔 채 x=9-y라고 적었고, 이후 두 식을 모두 만족하는지 확인하지 않았다. 계산 결과가 나온 뒤에도 한 식에만 대입해 맞는 것처럼 보이는 값을 해로 확정했다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 계산 실수가 아니라, 어느 식을 대입하고 어느 식을 남길지 기준 없이 식의 앞자리부터 고른 것이었다.

대입할 식은 모양이 아니라 역할로 정한다

교정할 때 이미 맞았던 대입 계산은 그대로 유지했다. 먼저 두 식을 비교하며 한 미지수가 혼자 놓인 식을 찾고, 그 식은 대입할 식으로 표시했다. 다른 식에는 대입할 문자를 빈칸처럼 표시했다. 두 번째 문제에서는 y=3x-1에 동그라미를 치고, 2x+y=9의 y에 밑줄을 그었다.

그다음 “y가 무엇과 같은지 알려 주는 식을 다른 식의 y 자리에 넣는다”라고 한 문장으로 관계를 고정했다. 따라서 2x+(3x-1)=9가 되고, 5x=10에서 x=2를 얻는다. y=3×2-1이므로 y=5이다. 교정의 중심은 새로운 풀이법을 더한 것이 아니라, 대입할 식과 남길 식을 역할로 구분한 뒤 같은 문자를 찾아 정확한 자리에 넣는 것이었다.

식이 아닌 표와 문장으로 바꾸어 보기

숫자만 바꾸지 않고 같은 관계를 다른 표현으로 바꾸었다. 두 식을 표로 나타내어 x와 y의 관계를 구분하게 했다.

• 첫 번째 관계: x가 1 증가할 때 y는 2 증가하고, x=0일 때 y=1
• 두 번째 관계: x와 y의 합이 9가 아니라, 2x에 y를 더한 값이 9

학생은 표의 첫 번째 관계를 y칸에 들어갈 값으로 읽고, 그 값을 두 번째 관계의 y칸에 넣었다. x=2일 때 첫 관계의 y는 5이고, 2×2+5=9이므로 두 관계가 만난다는 식으로 설명했다.

이번에는 질문 방향도 바꾸었다.

어떤 수 x와 y가 y=4-x를 만족하고, 3x+y=11도 만족한다. 두 수의 값을 구하고, 두 번째 식에 먼저 대입하여 풀이하라.

학생은 이번에는 “먼저 대입하라”는 문장만 보고 순서를 정하지 않았다. y=4-x가 y를 홀로 나타낸 식임을 확인하고, 3x+y=11의 y 자리에 넣었다. 3x+4-x=11에서 2x=7, x=7/2를 구한 뒤 y=1/2를 계산했다. 표현이 표에서 문장으로 바뀌었지만, 한 식에서 얻은 값을 다른 식에 넣는 관계를 다시 세웠다.

도움 없이 두 원래 식을 모두 확인하다

수업 끝에는 처음 보지 못한 형태를 제시했다.

x-2y=4, x=2y+4일 때 x와 y의 관계를 이용해 해를 구하여라.

학생은 곧바로 x=2y+4에 표시하고, 첫 번째 식의 x 자리를 대입할 자리로 정했다. (2y+4)-2y=4가 되어 4=4만 남으므로 y를 하나로 정할 수 없다는 점도 말로 설명했다. 이 문제에서는 하나의 해를 억지로 만들지 않고, 두 식이 사실상 같은 관계임을 판단했다.

학생은 “x를 나타낸 식을 첫 번째 식에 넣었지만 y가 소거되어 새로운 값을 정할 수 없다. 따라서 유일한 해가 아니라 두 식을 동시에 만족하는 값이 여러 개다”라고 풀이 이유를 설명했다. 이어 x=2y+4를 원래 두 식에 각각 대입해 두 식이 모두 4=4로 확인되는지도 검산했다. 이처럼 첨단2지구과외 수업의 마지막 확인은 정답 숫자보다, 처음 판단을 스스로 세우고 두 원래 식에 모두 대입해 관계를 검증하는 장면에 두었다. 첨단2지구중2수학과외에서도 대입법은 식의 위치를 외우는 문제가 아니라, 어떤 식의 표현을 다른 식에 연결할지 판단하는 과정으로 다뤄진다.