신창동 중등수학과외

신창동중등수학과외, y=(x-10)²+1의 꼭짓점·대칭축과 음수 앞부호 확인하기

이차함수 그래프에서 답을 맞혔더라도, 그 답이 왜 나오는지 식과 그림으로 연결하는 확인이 필요합니다. 예를 들어 y=(x-10)²+1의 꼭짓점과 대칭축을 묻는 문제에서 꼭짓점은 (10,1), 대칭축은 x=10입니다. 핵심 조건은 (x-10)²가 가장 작아지는 순간입니다. 제곱한 값은 항상 0 이상이므로 가장 작은 값은 0이고, 괄호 안 x-10이 0일 때만 (x-10)²=0이 됩니다. 따라서 x=10을 식에 넣으면 y=(10-10)²+1=1이 되어 가장 낮은 점은 (10,1)이 됩니다. 이 x값을 기준으로 좌우의 높이가 같아지는 그래프이므로 대칭축도 x=10입니다. 신창동중등수학과외에서는 맞힌 결과를 다시 외우게 하기보다, 이 세 줄의 관계가 풀이 기록에 남는지 확인하는 방식으로 정답의 근거를 살핍니다.

제곱되는 부분이 0이 되는 x를 식에서 찾기

풀이에는 먼저 x-10=0이라고 표시하고, 양변에 10을 더해 x=10을 구합니다. 여기서 “10을 더한다”는 계산만 적기보다, 괄호 전체가 0이 되어야 제곱값도 0이 된다는 이유를 붙이는 것이 중요합니다. 이어 x=10을 원래 식에 대입해 y=1을 확인하면 좌표의 두 성분이 각각 어디서 왔는지도 분명해집니다. 꼭짓점은 x값만 쓰는 것이 아니라 (10,1)처럼 좌표로 쓰고, 대칭축은 점이 아니라 세로 직선이므로 x=10이라고 구별해 적습니다. 포물선 모양을 먼저 보고 꼭짓점을 짐작하는 대신, x=9와 x=11을 넣어 보면 각각 y=2가 되어 x=10의 양쪽에서 같은 높이가 나온다는 점도 대칭축 판단을 뒷받침합니다. 답이 맞은 경우에도 ‘괄호 안이 0이 되는 x는 얼마인가’라는 질문에 x=10과 x-10=0의 연결을 설명하거나 식에 표시할 수 있는지 확인합니다.

앞의 음수는 꼭짓점이 아니라 열리는 방향을 바꾼다

비교할 식은 y=-(x-10)²+1입니다. 두 식 모두 괄호 안은 x-10이므로, 제곱되는 부분이 0이 되는 조건은 똑같이 x=10입니다. 이때 y=-(10-10)²+1=1이므로 꼭짓점은 (10,1), 대칭축은 x=10으로 유지됩니다. 달라지는 곳은 제곱항 앞의 부호입니다. (x-10)²는 0 이상이지만, 그 앞에 음수가 붙으면 -(x-10)²는 0 이하가 됩니다. 따라서 꼭짓점의 y=1은 가장 작은 값이 아니라 가장 큰 값이 되고, 포물선은 아래로 열립니다. 예컨대 x=9를 대입하면 y=-(9-10)²+1=0이며, x=11을 넣어도 y=0입니다. 꼭짓점 양쪽의 값이 모두 1보다 작다는 대입 결과가 아래로 열린다는 판단과 맞습니다. 음수가 있어도 괄호가 0이 되는 x는 변하지 않는다는 사실과, 그래프 방향만 바뀐다는 사실을 한 문장으로 섞지 않고 각각 표시하는 것이 좋습니다.

말·식·그래프가 같은 내용을 가리키는지 확인하기

확인할 때는 정답을 가린 뒤 기본 식에서 x-10=0, x=10, y=1의 순서를 학생이 스스로 복원하게 합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 꼭짓점 대입표에 x=10과 y=1을 적거나, 그래프에 점 (10,1)과 세로선 x=10을 표시해도 됩니다. 다만 말한 내용과 표시가 어긋나지 않아야 합니다. 비교 식에서는 도움 없이 꼭짓점과 대칭축을 먼저 적고, 왜 아래로 열리는지 앞의 ‘-’와 제곱값의 범위로 설명하도록 확인합니다. x=9, 11을 대입한 값이 0으로 같은지도 살피면 대칭축과 방향을 함께 검산할 수 있습니다. 이후에도 x=10을 찾는 이유를 식과 연결하지 못하거나 음수 때문에 꼭짓점까지 달라진다고 판단한다면, 두 식에서 괄호 부분과 앞부호를 색으로 나누어 표시한 뒤 같은 점과 달라진 성질을 다시 비교합니다. 반대로 근거를 제시하며 비교 과제를 독립적으로 풀면, 다음 이차함수에서도 꼭짓점의 위치와 열리는 방향을 분리해 확인하는 흐름으로 이어갈 수 있습니다.