신창동 고3수학과외

교점의 개수보다 먼저 확인한 한 줄

신창동 생활권의 도서관에서 기출 풀이를 정리하던 학생에게 매개변수 문제 한 장을 건넸다. 광주진흥고등학교 인근 학습환경을 참고한 실전 자료였지만, 특정 학교의 출제 경향을 전제로 하지는 않았다. 문제는 다음과 같았다.

함수 f(x)=x²-4x+3의 그래프와 직선 y=k가 구간 0≤x≤3에서 만나는 점의 개수가 2개가 되도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

학생은 곧바로 판별식을 사용해 k≥-1이라고 적었다. 방정식 x²-4x+3=k를 정리하면 판별식이 4(k+1)이므로, 서로 다른 두 실근이 존재하려면 k>-1이라는 판단까지는 맞았다. 그러나 답을 k>-1로 마무리하려는 순간, 문제에 붙어 있던 구간 조건이 계산에서 빠져 있었다.

허용된 교점인지 따져 본 흔적

오류의 시작은 판별식을 틀린 데 있지 않았다. 0≤x≤3을 첫 식에 반영하지 않은 것이 최초의 잘못이었다. 학생은 방정식의 두 근을

x=2±√(k+1)

로 다시 썼다. 이제 두 근이 모두 구간 안에 있어야 한다. 큰 근에 대해 2+√(k+1)≤3이므로 √(k+1)≤1, 따라서 k≤0이다. 작은 근의 조건은 2-√(k+1)≥0이므로 k≤3을 준다. 두 조건을 합치면 구간 조건에서 실제로 남는 범위는 -1<k≤0이다. k=-1이면 두 교점이 하나로 겹치므로 제외되고, k=0이면 교점은 x=1, 3으로 서로 다르며 모두 구간에 포함된다.

교정은 길지 않았다. 학생은 매개변수 문제를 시작할 때 첫 줄 오른쪽에 “판별식 조건 / 정의역 조건”을 나누어 적기로 했다. 그 뒤 후보를 얻으면 각 근을 원래 구간에 대입해 탈락 이유를 남겼다. 예를 들어 k=1은 판별식만 보면 가능하지만 근 중 하나가 2+√2>3이므로 그래프의 제한된 부분에서는 교점으로 인정하지 않는다고 표시했다. 그래프를 그려 보니 꼭짓점이 (2,-1)이고, 수평선 y=k가 구간 위의 포물선과 만나는 모양도 이 결론과 일치했다.

식의 순서를 바꾼 변형

다음에는 같은 포물선을 반복하지 않고, 정의역과 식의 제시 순서를 바꾸었다.

1≤x≤4에서 y=(x-2)²+a와 직선 y=1의 교점이 두 개가 되도록 하는 a의 범위를 구하여라.

학생은 이번에는 그래프를 먼저 그리지 않았다. 직선과 곡선을 같게 놓아 (x-2)²=1-a를 세우고, 실근 조건으로 a≤1을 적었다. 이어 두 근이 2±√(1-a)임을 확인한 뒤 큰 근이 4 이하가 되려면 √(1-a)≤2, 즉 a≥-3이라고 계산했다. 작은 근의 조건에서는 √(1-a)≤1이 필요하므로 a≥0이 남는다. 따라서 두 교점 조건은 0≤a<1이다. a=1에서는 두 근이 x=2로 겹치므로 제외했다.

이번 변형에서 학생은 사용하지 않은 정보도 따로 표시했다. 실근 조건 a≤1만으로는 부족하고, 구간 안에 들어오는지 확인하는 조건이 최종 범위를 결정했다. 신창동과외 학습 기록에는 ‘판별식으로 후보 생성, 정의역으로 후보 제거, 그래프로 대조’라는 세 단계만 남겼다.

힌트가 사라진 뒤에도 남은 판단

며칠 뒤에는 풀이 중간식과 유형명이 가려진 문제를 풀게 했다. 매개변수 직선과 함수의 교점 개수를 묻는 새 문항에서 학생은 먼저 매개변수의 허용 범위가 문제의 정의역과 함께 제시되어 있는지 찾았다. 첫 계산 옆에는 왜 그 식을 세우는지 짧게 적었고, 두 근을 구한 뒤 각각 경계 안에 있는지 확인했다.

주말 100분 세트의 마지막 검산에서도 전체 계산을 처음부터 반복하지 않았다. 위험한 줄인 ‘두 근이 모두 허용 구간에 들어오는가’를 다시 확인하고, 계산으로 얻은 교점 위치와 그래프의 상대적 위치가 맞는지 대조했다. 특히 경계값에서 두 교점이 합쳐지는지, 끝점에서 만나는 경우는 허용되는지를 따로 살폈다. 정답 표시 없이 다시 세운 풀이에서도 조건을 판별식과 정의역으로 분리하는 행동이 그대로 나와, 처음 누락했던 그래프 관계와 해의 조건을 스스로 복원하고 있음을 확인할 수 있었다.