신창동 중3수학과외

신창동 생활권에서 살펴본 완전제곱식 풀이

이번에는 완전제곱식으로 이차방정식을 풀 때, 계산 전에 계수와 부호, 조건을 선별하는 과정만 집중해서 살펴보았습니다. 신창중학교가 포함된 생활권에서 자주 접하는 서술형 답안처럼, 식을 바로 변형하기 전에 무엇을 확인했는지 한 줄로 남기는 방식입니다.

답안의 첫 줄에서 드러난 판단

문제는 다음과 같았습니다.

방정식 \(x^2-6x+5=0\)의 두 근 중 큰 근을 구하여라.

학생은 답안에 다음과 같이 적었습니다.

\(x^2-6x+5=0\)
\((x-3)^2=5\)
\(x-3=5\), 따라서 \(x=8\)

처음 전개한 \(x^2-6x+5=0\)에서 \((x-3)^2=5\)로 바꾼 부분은 맞았습니다. \(x^2-6x+9=4\)가 되도록 양변에 4를 더한 것이므로, 완전제곱식으로 만드는 계산 자체에는 문제가 없었습니다. 그러나 학생은 제곱식에서 나올 수 있는 값을 하나만 적고 바로 큰 근이라고 판단했습니다.

이때 계산보다 먼저 확인했어야 할 것은 두 가지였습니다. \((x-3)^2=5\)에서 제곱된 수의 제곱근은 양수와 음수 모두 가능하다는 점, 그리고 문제의 질문이 두 근 전체가 아니라 그중 큰 근을 묻는다는 점입니다. 학생은 이 기준을 적지 않은 채 \(x-3=5\)라고 정했습니다. 최종 답 \(8\)이 틀린 이유를 단순 계산실수로 볼 수 없는 까닭이 여기에 있습니다. 최초로 어긋난 판단은 완전제곱식의 양변에서 나오는 두 부호를 확인하지 않은 순간입니다.

이미 맞은 변형은 두고, 필요한 부분만 다시 쓰기

풀이를 처음부터 바꾸지 않고, 잘못 결정한 한 줄만 고쳤습니다. 먼저 문제의 질문과 완전제곱식의 형태를 답안에 표시했습니다.

• 완전제곱식: \((x-3)^2=5\)
• 해의 관계: \(x-3=\pm\sqrt5\)
• 질문: 두 값 중 큰 근

따라서

\[ x=3+\sqrt5 \quad \text{또는} \quad x=3-\sqrt5 \]

이고, 큰 근은 \(3+\sqrt5\)입니다. 앞에서 맞았던 \((x-3)^2=5\)까지의 과정은 그대로 유지했습니다. 바뀐 행동은 제곱식에서 해를 정할 때 두 부호를 먼저 적은 것 하나뿐입니다.

모양을 바꾼 문제에서 기준을 다시 세우다

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식이 아니라, 조건이 식의 앞부분에 제시된 문제를 풀었습니다.

조건 \(y<2\)를 만족하는 \(y\)에 대하여
\(y^2-4y-1=0\)의 해를 구하여라.

학생은 이번에는 식을 곧장 계산하지 않고, 먼저 계수와 조건을 답안에 적었습니다.

\(y^2-4y-1=0,\quad y<2\)
\((y-2)^2=5\)
\(y-2=\pm\sqrt5\)

그러면 \(y=2+\sqrt5\) 또는 \(y=2-\sqrt5\)입니다. 조건 \(y<2\)에 맞는 것은 \(2-\sqrt5\)뿐이므로 답은 \(y=2-\sqrt5\)입니다. 여기서 조건은 새로운 계산법을 요구한 것이 아니라, 완전제곱식으로 얻은 두 해 중 어느 해를 남길지 결정하는 기준으로 사용되었습니다. 학생은 이번에는 질문 방향과 문장 조건을 계산 전에 확인하고, 두 해를 모두 만든 뒤 조건에 맞지 않는 값을 제외했습니다.

힌트 없이 원래 방정식에 되돌려 보기

마지막에는 다음 문제를 별도의 표시나 안내 없이 제시했습니다.

방정식 \(4x^2+12x+7=0\)의 두 해를 구하고, 각각이 원래 식을 만족하는지 확인하여라.

학생은 먼저 \(4\)를 묶어 식을 정리했습니다.

\[ 4(x^2+3x)+7=0 \]

그다음 \((x+\frac32)^2\)를 만들기 위해 필요한 값을 계산하여

\[ 4\left(x+\frac32\right)^2-2=0 \]

으로 바꾸었습니다. 따라서

\[ 4\left(x+\frac32\right)^2=2,\quad \left(x+\frac32\right)^2=\frac12 \]

이고,

\[ x+\frac32=\pm\frac{\sqrt2}{2} \]

이므로 두 해는

\[ x=-\frac32+\frac{\sqrt2}{2},\quad x=-\frac32-\frac{\sqrt2}{2} \]

입니다. 학생은 멈추지 않고 두 값을 \(4x^2+12x+7\)에 각각 대입했습니다. 첫 번째 값은 완전제곱식에서 \(x+\frac32=\frac{\sqrt2}{2}\)를 만들고, 두 번째 값은 \(x+\frac32=-\frac{\sqrt2}{2}\)를 만듭니다. 두 경우 모두 \(\left(x+\frac32\right)^2=\frac12\)이므로 원래 식은 \(4\cdot\frac12-2=0\)이 됩니다.

이제 학생은 새로운 식에서도 계수와 부호를 먼저 살피고, 완전제곱식에서 두 해를 빠뜨리지 않은 뒤 원래 방정식에 대입해 스스로 확인했습니다. 신창동과외 및 신창동중3수학과외에서 확인한 핵심은 계산량이 아니라, 완전제곱식으로 바꾼 다음 해의 부호와 주어진 조건을 먼저 결정하는 습관입니다.