신창동 고등수학과외
신창동 고등수학과외에서 로그 단원은 계산 속도보다 식이 성립하는 범위를 먼저 판단하는 습관을 세우는 데서 출발한다. 광주진흥고등학교 학생과 문제를 풀 때도 밑과 진수, 밑의 조건을 따로 외우는 데 그치지 않고 실제 풀이 줄에 세 조건을 표시하도록 연습했다. 신창부영1차아파트와 이야기꽃도서관 인근에서 진행한 학습에서도 자주 드러난 장면은 logx(18)을 보자마자 값을 구하려다 멈추는 경우였다.
logx(18)에서 멈춘 첫 순간
학생은 공책에 logx(18)을 적은 뒤, 밑이 문자이므로 특별한 변형이 필요한지부터 찾았다. 그런데 밑에 대한 조건을 떠올리면서도 진수 조건과 밑이 1이 될 수 없다는 조건을 한꺼번에 연결하지 못했다. “18은 양수니까 괜찮고, x만 양수면 되지 않나요?”라고 말한 지점이 첫 오류였다. 로그의 정의 조건 세 가지를 알고 있었지만 각 조건이 식의 어느 부분을 제한하는지 분리하지 않은 것이다.
logab가 정의되려면 a>0, a≠1, b>0
따라서 이 식에서는 x>0, x≠1, 18>0을 확인한다. 마지막 조건은 이미 참이지만, 그렇다고 x에 아무 값이나 넣을 수 있는 것은 아니다. 학생은 처음에 조건을 여백에 적지 않고 식 변형부터 시작했기 때문에, 정의역을 확인해야 하는 이유 자체를 놓쳤다. 풀이 시간 기록에서도 이 한 줄을 건너뛴 뒤 다음 문제에서 비슷한 오류를 되풀이한 모습이 확인됐다.
정의 조건을 원식에 되돌려 확인하기
교정할 때는 세 조건을 암기식으로 읽게 하지 않고, 각각 원식의 어느 자리를 검사하는지 표시했다. 밑 x에는 양수 조건과 1이 아닌 조건을 붙이고, 진수 18에는 양수 조건을 붙인다. 이어서 “이 조건을 만족하지 않으면 로그 계산이 틀리는가, 아니면 애초에 기호를 쓸 수 없는가?”를 구분하게 했다. 예를 들어 x=1이면 log1(18)은 지수의 단조로운 대응이 만들어지지 않아 정의되지 않는다. x=-2이면 밑이 양수가 아니므로 로그 자체를 실수 범위에서 사용할 수 없다.
학생은 다음부터 식을 보자마자 여백에 ‘밑 양수, 밑 1 제외, 진수 양수’라고 세 칸을 만들었다. 단순히 조건을 적는 데서 끝내지 않고 마지막 줄에는 그 결과를 원래 로그식에 대입했다. x>0, x≠1이 나온 뒤 실제로 logx(18)의 밑 자리에 넣어 보면서 식이 실수 범위에서 정의되는지 확인하는 방식이다. 이 과정을 거치자 로그와 정의 조건이 별개의 암기 항목이 아니라 한 식을 읽는 순서로 연결됐다.
조건과 모양이 바뀐 문제에 혼자 적용하기
이후에는 단순한 logx(18) 대신 밑과 진수의 모양이 함께 달라진 문제를 제시했다. 좌표가 이동된 그래프에서 밑이 x가 아니라 x-2로 나타나고, 진수가 18이 아닌 식으로 길어진 형태를 골랐다. 학생은 먼저 x-2>0, x-2≠1을 적고 진수 전체가 0보다 큰지 따로 정리했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 밑이 이동된 경우에도 ‘밑 자체’를 기준으로 조건을 세워야 한다는 점을 혼자 적용하는 과정이었다.
조건을 적은 뒤에는 부등식의 해를 구하고, 경계값을 포함할 수 있는지도 살폈다. 밑이 0이 되는 값과 1이 되는 값은 부등식의 해처럼 보이더라도 제외해야 했다. 진수가 0이 되는 경계 역시 로그 안에 넣을 수 없으므로 별도로 제거했다. 학생은 처음에는 한 번에 정의역을 쓰려 했지만, 밑 조건과 진수 조건을 줄을 나누어 계산하면서 누락을 줄였다.
조건 하나를 빼면 생기는 반례
마무리 검증에서는 새 문제를 또 풀게 하지 않고, 조건 하나를 일부러 생략했을 때 어떤 잘못된 값이 살아남는지 찾았다. 밑의 양수 조건만 적고 밑이 1이 되는 경우를 제외하지 않으면 x=1이 허용된다. 그러나 이를 원식에 대입하면 log1(18)이 되어 정의되지 않는다. 이 반례는 계산 결과가 틀린 것이 아니라 계산을 시작할 수 없는 값이 포함된 사례다.
마지막에는 구한 정의역의 양 끝값을 원식에 재대입했다. 허용되는 값은 세 조건을 모두 만족하는지, 제외한 값은 밑이 0 또는 1이 되거나 진수가 양수가 아니게 되는지 확인했다. 그래프를 그릴 때도 가능한 밑의 범위와 실제 로그함수의 형태가 맞는지 대조했다. 이렇게 원식 대입과 반례 검사를 거치면 조건을 적었다는 사실보다, 그 조건이 식을 끝까지 지키는지 검증했다는 점이 풀이에 남는다.
자주 묻는 내용
- 로그의 정의 조건은 왜 세 가지인가요?
밑은 양수이면서 1이 아니어야 하고, 진수는 양수여야 실수 로그가 정의됩니다. - 진수 18이 양수면 밑 조건만 보면 되나요?
이 식에서는 그렇지만, 다른 문제에서는 진수가 식으로 주어질 수 있으므로 반드시 따로 부등식을 세워야 합니다. - 밑이 1이 되면 계산값이 0인가요?
아닙니다. 밑이 1인 로그는 정의되지 않으므로 값 자체를 정할 수 없습니다. - 조건을 마지막에 확인해도 되나요?
변형 과정에서 정의되지 않는 값을 포함할 수 있으므로 처음 적고, 끝에 원식 대입으로 다시 점검하는 편이 안전합니다.