서북구 충남예술고등학교 수학과외
조건을 추렸지만 표본공간의 순서를 놓친 풀이
충남예술고등학교 학생과 함께 여러 조건이 섞인 표본공간 문제를 풀 때, 학생은 먼저 조건을 두 묶음으로 정리했다. 그중 순서가 있는 시행과 순서가 없는 선택을 구분하는 데 직접 필요한 정보만 남긴 판단은 적절했다. 어떤 결과를 나열할 때 자리나 시행 순서가 결과 자체를 바꾸는지, 아니면 선택된 대상만 중요하게 보는지를 먼저 가려내려 한 것이다.
하지만 남은 조건을 미지수에 따라 끝까지 나누는 과정에서 한 경우가 빠졌다. 두 조건을 따로 적은 뒤 가능한 결과를 모으면서, 특정 조건에서만 성립하는 경우를 처음부터 제외해 버린 것이다. 그래서 표본공간의 일부가 누락되었고, 순서가 있는 시행인지 없는 선택인지 판단하기 전에 가능한 경우 전체를 확인해야 한다는 점이 드러났다.
미지수별 가능 여부를 작은 표로 되짚은 과정
교정할 때는 복잡한 식을 다시 계산하기보다, 빠뜨린 경우를 별도의 행으로 추가했다. 각 행에는 미지수의 상태, 해당 조건의 성립 여부, 그리고 결과에서 순서를 구분해야 하는지를 차례로 적었다. 예를 들어 같은 대상들을 고르는 상황이라도 시행 순서가 결과에 포함되면 서로 다른 결과로 세고, 단순히 선택된 대상의 묶음만 보는 상황이면 같은 선택으로 묶어야 한다는 기준을 표 옆에 함께 표시했다.
- 먼저 미지수가 취할 수 있는 경우를 모두 적는다.
- 각 경우에서 두 조건이 실제로 성립하는지 따로 판정한다.
- 조건을 만족한 경우에만 순서가 결과를 바꾸는지 확인한다.
- 마지막에 남은 경우를 빠짐없이 하나의 표본공간으로 모은다.
이 표를 만든 뒤 학생은 처음에 제외했던 행이 특정 조건에서는 반드시 포함되어야 한다는 것을 확인했다. 조건을 두 묶음으로 나누는 것만으로는 충분하지 않고, 미지수에 따라 달라지는 경우를 각각 남겨 두어야 누락을 막을 수 있었다.
표현을 바꾼 문항에서 표본공간을 직접 구성하다
다음에는 한 조건만 유지하고 나머지 표현을 바꾼 새로운 문항을 제시했다. 학생은 앞서 적은 식이나 표를 그대로 옮기지 않고, 새로 주어진 관계를 읽어 미지수의 경우를 다시 나눴다. 이후 각 경우에서 결과의 순서가 의미를 가지는지 확인하고, 순서가 필요한 경우와 선택만 남는 경우를 구별해 표본공간을 직접 구성했다.
표본공간을 정할 때는 조건을 만족하는 경우를 모두 남긴 뒤, 결과의 순서가 달라질 때 서로 다른 결과로 볼지를 판단해야 한다.
마지막에는 계산을 반복하지 않고, 왜 특정 조건이 필요한지 말로 설명하게 했다. 학생은 조건이 없으면 누락된 경우까지 포함될 수 있고, 순서를 구분하는 시행에서는 배열이 달라지며 선택 문제에서는 같은 대상의 묶음으로 보게 된다고 설명했다. 이를 통해 빠진 경우를 찾는 기준과 표본공간의 구분 원리를 스스로 점검했다.