동남구 북일고등학교 수학과외

청수지구와 신방지구에서 이동해 수업에 참여하던 학생은 중복조합 문제를 풀고도 서술형 답안에서 점수를 잃은 이유를 확인하고 있었다. 문제는 4가지 음료 중 3개를 중복해서 선택하는 경우의 수를 묻고 있었고, 학생은 답을 구하는 과정에서 틀린 선택지의 계산을 거꾸로 따라가며 어느 단계에서 중복 선택 조건을 놓쳤는지 추적했다.

답은 맞혔지만 조합식이 사라진 서술형 풀이

학생은 같은 종류를 여러 번 고를 수 있으므로 중복조합을 사용해야 한다는 판단까지는 도달했다. 4종류에서 3개를 고르는 경우의 수를 ₄H₃으로 적고 답을 ₆C₃으로 계산했지만, 서술형 답안에는 두 식을 연결하는 관계를 쓰지 않았다. 채점하는 입장에서는 왜 6개 중 3개를 고르는지 알 수 없어 풀이의 논리가 끊긴 상태였다.

중복조합 ᵣHₖ는 서로 다른 종류의 수가 ᵣ개이고, 같은 종류를 반복해 모두 ₖ개 선택할 때 ᵣ₊ₖ₋₁Cₖ로 바꾸어 계산한다.

수업에서는 정답을 다시 외우게 하기보다, 오답 선택지의 계산을 역순으로 살폈다. 학생은 4H3을 4C3으로 바꾼 선택지가 ‘반복 선택 가능’이라는 조건과 맞지 않는다는 점을 표시했고, 중복조합의 변환에서 4와 3을 그대로 사용하는 것이 아니라 4+3-1=6이라는 관계가 먼저 필요하다는 것을 답안에 넣었다.

식을 쓰지 않고도 조건을 확인하는 다른 검산

같은 계산 경로를 반복하지 않기 위해 이번에는 별과 막대 방식으로 결과를 확인했다. 네 종류의 선택 횟수를 각각 x₁, x₂, x₃, x₄라 두면 조건은

x₁+x₂+x₃+x₄=3, xᵢ≥0

이 된다. 선택 횟수 3개와 종류를 나누는 막대 3개를 배열하므로 전체 배열 수는 7개 중 3개를 막대 위치로 정하는 ₇C₃=35이다. 학생은 앞서 적은 ₆C₃이 다른 문제의 수치에서 나온 식임을 발견하고, 실제 문항의 조건에 맞춰 관계식을 다시 세우면서 답을 35로 바로잡았다.

종류 수와 선택 수를 바꾼 새 문항에서의 판단

다음에는 5종류의 토핑 중 2가지를 고르는 문제를 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 각 토핑의 선택 횟수를 y₁부터 y₅까지 두어

y₁+y₂+y₃+y₄+y₅=2, yᵢ≥0

을 직접 만들었다. 따라서 별 2개와 막대 4개를 배열하는 경우의 수인 ₆C₂=15를 얻었다. 선택 수와 종류 수가 달라졌지만, 반복 선택이 가능하고 선택 횟수가 음수가 될 수 없다는 조건을 먼저 확인한 뒤 식을 세운 것이다.

마지막에는 답의 범위도 점검했다. 5종류에서 2개를 고르는 문제이므로 종류를 구별하지 않는 중복조합의 결과는 15이고, 반복 선택을 허용하지 않을 때의 ₅C₂=10보다 작아질 수 없다는 점을 확인했다. 학생은 답만 비교하지 않고 선택 횟수의 합과 각 변수의 허용 범위까지 다시 살펴보며 중복조합 조건이 실제 계산에 반영되었는지 검증했다.