청수동 천안청수고등학교 수학과외
앞 단계의 값을 대입한 뒤 배열 조건에서 멈춘 장면
천안청수고등학교 학생은 여러 단계로 이어지는 배열 문제에서 앞 단계의 결과를 여백에 따로 적어 두고, 그 값을 다음 식에 연결하는 방식으로 풀이를 시작했다. 특히 특정 원소를 맨 앞이나 맨 끝에 고정해야 하는 문제에서는 고정된 위치를 먼저 반영한 뒤 남은 원소를 배열해야 했다.
처음 문제에서는 특정 원소를 첫 자리에 놓은 결과를 구한 뒤 그 값을 다음 식에 넣어야 했다. 학생은 앞 단계의 결과 자체는 계산했지만, 다음 단계에서 그 값을 고정 원소가 반영된 배열의 형태로 바꾸지 않고 그대로 대입했다. 대입 직후 식의 항이 맞지 않아 계산이 멈췄고, 여백에 적어 둔 표시를 다시 따라가면서도 ‘고정 위치를 먼저 정한다’는 판단 기준이 바뀌는 지점에서 풀이를 처음부터 되짚게 되었다.
고정된 자리를 먼저 떼어 내는 배열 판단
교정할 때는 계산식을 바로 외우게 하지 않고, “특정 원소가 맨 앞에 고정되면 첫 칸은 이미 정해지고 나머지 원소만 배열한다”는 말로 문제를 다시 설명하게 했다. 예를 들어 네 원소 중 A를 맨 앞에 고정하면 첫 자리는 A로 결정되고, 남은 세 원소의 배열만 세어야 한다. A를 맨 끝에 고정하는 경우에도 마지막 자리를 먼저 정한 뒤 앞의 세 자리를 배열한다.
고정된 원소의 위치를 먼저 제외한 뒤, 남은 자리와 원소만 대응시켜야 한다.
이 설명을 한 뒤 학생은 앞 단계 결과를 단순한 숫자로 옮기는 대신, ‘첫 자리 또는 마지막 자리가 이미 정해진 배열’이라는 조건을 식에 표시했다. 그 결과 대입 전에 고정 위치와 남은 배열의 수를 분리해 확인할 수 있었다.
표현이 바뀐 새 관계식에서 조건을 다시 세운 과정
다음에는 앞 문제의 식을 보여 주지 않고, 한 원소를 맨 끝에 두는 조건만 유지한 새로운 문항을 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 마지막 자리를 먼저 정한 다음, 남은 원소의 배열을 별도의 관계식으로 만들었다. 문제의 표현과 수치가 달라졌지만 고정된 자리를 제외하고 남은 경우를 세는 순서를 스스로 재구성했다.
마지막에는 계산 결과를 바로 답으로 확정하지 않고 원래 조건으로 되돌아갔다. 구한 배열에 지정된 원소가 실제로 맨 앞 또는 맨 끝에 있는지 하나씩 확인하고, 그 조건을 만족하지 않는 경우는 허용되지 않는다고 판정했다. 이 검증을 통해 학생은 앞 단계 값을 대입하는 것보다 먼저 고정 위치라는 원조건을 유지해야 한다는 점을 확인했다.