산남동 산남고등학교 수학과외
조건을 옮긴 식에서 표본공간이 넓어진 장면
산남동에서 산남고등학교 수학 과외를 받던 학생은 조건부확률 서술형 문제를 풀며 사건 자체보다 문장 속 제한 조건을 식으로 바꾸는 데 어려움을 보였다. 문제에는 어떤 조건이 먼저 주어진 상황에서 다른 사건이 일어날 확률을 구하라는 내용이 담겨 있었고, 학생은 관련 문장에 동그라미를 치며 핵심 단서를 찾았다.
처음에는 서술된 조건을 사건으로 표시한 뒤 P(A|B)를 적고, 이를 P(A∩B)/P(B)로 연결하려 했다. 하지만 식을 만드는 과정에서 조건 중 하나를 빠뜨렸다. 그 결과 실제로는 B가 일어난 경우만 남겨야 하는데, 제한되지 않은 전체 경우까지 포함된 것처럼 답의 범위가 넓어졌다.
분모가 정하는 새로운 표본공간
학생의 풀이를 다시 살펴보면서 조건부확률의 분모가 단순한 계산값이 아니라 표본공간을 B가 일어난 경우로 좁히는 역할을 한다는 점을 확인했다. 따라서 문장 속 조건을 식으로 옮길 때에는 사건 이름만 적는 것이 아니라, 어떤 조건 아래에서 확률을 판단하는지도 함께 남겨야 했다.
P(A|B)는 전체 표본공간에서의 확률이 아니라, B가 일어난 경우만 남긴 표본공간에서 A까지 만족하는 비율이다.
이후에는 서술 조건을 수식으로 바꾼 뒤 다음 항목을 짧게 대조했다.
- 조건으로 주어진 사건이 분모에 반영되었는가
- 두 사건이 동시에 일어나는 경우가 분자에 들어갔는가
- 조건 때문에 제외되는 경우가 식에 남아 있지 않은가
마지막에는 완성한 식을 다시 말로 풀어 설명하게 했다. “B인 경우만 먼저 남기고, 그중 A이기도 한 경우의 비율을 구한다”는 설명이 식의 구조와 일치하는지 확인하면서 누락된 제한을 찾아 수정했다.
숫자 없이 제시된 새 조건에서의 독립 적용
다음 문제에서는 확률값이나 표가 주어지지 않고 조건이 문장으로만 제시되었다. 학생은 먼저 조건에 해당하는 사건을 B로 두고, 그 조건 안에서 함께 만족되는 사건을 A∩B로 정리했다. 이어 필요한 식을 스스로 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)로 구성하고, 문제의 조건이 어느 항에 반영되었는지 하나씩 표시했다.
이번에는 이전처럼 일부 조건을 생략하지 않고, 제한된 표본공간과 그 안에서의 교집합을 모두 식에 반영했다. 새로운 표현으로 바뀐 문제에서도 조건을 먼저 고정한 뒤 분모와 분자를 정하는 판단이 독립적으로 나타났다.
최종 검증에서는 같은 식을 계산하는 대신, 오류가 시작된 줄을 역순으로 추적했다. 분모가 조건부 사건을 나타내는지 확인하고, 분자에서 그 조건이 유지되는지 다시 대조한 결과 문장, 식, 표본공간의 범위가 서로 일치했다.