용담동 주성고등학교 수학과외
계산값이 아니라 논리가 갈라진 첫 줄 찾기
용담동에서 주성고등학교 수학 과외를 진행하던 중, 한 학생이 사건의 합집합과 교집합을 표본공간의 부분집합으로 나타내는 문제에서 두 풀이를 비교하고 있었다. 두 풀이의 최종 결과는 달랐지만, 학생은 값이 달라진 줄만 표시할 뿐 어느 단계에서 잘못된 판단이 시작됐는지는 설명하지 못했다.
두 풀이의 중간 표현을 먼저 대조하다
문제의 핵심은 계산 결과를 빠르게 확인하는 것이 아니라, 각 사건을 표본공간의 부분집합으로 해석한 뒤 합집합과 교집합을 정확히 구성하는 데 있었다. 예를 들어 표본공간이 S={1,2,3,4}, 사건이 A={1,2}, B={2,3}이라면
- A∪B={1,2,3}
- A∩B={2}
처럼 두 사건에 속하는 원소의 관계를 기준으로 표현해야 한다. 학생은 두 풀이의 마지막 집합이 서로 다르다는 점은 찾았지만, 그 차이가 앞선 집합 표현에서 이미 시작됐다는 점은 놓치고 있었다.
처음 달라진 집합 표현만 다시 쓰기
두 풀이를 줄마다 겹쳐 놓고 사건 A와 B가 각각 어떤 부분집합으로 적혔는지부터 표시하게 했다. 이후 합집합과 교집합을 계산한 줄이 아니라, 한 풀이에서 사건 B의 원소 하나를 잘못 옮긴 최초의 줄을 찾도록 했다. 학생은 그 줄에서부터 이후 결과가 달라졌음을 확인하고, 해당 표현을 표본공간 안의 원소 관계에 맞게 고쳤다.
최종 계산값이 달라진 줄보다 먼저, 사건을 부분집합으로 나타낸 최초의 표현이 올바른지 확인해야 한다.
계산 없는 서술형으로 근거를 직접 구성하다
다음에는 정답을 고르는 형식 대신, 주어진 두 사건의 합집합과 교집합을 직접 쓰고 각각의 원소가 포함되는 이유까지 문장으로 설명하게 했다. 학생은 합집합은 A 또는 B에 속하는 원소를 모으고, 교집합은 A와 B에 동시에 속하는 원소만 남긴다는 기준을 이용해 풀이를 완성했다.
마지막 검증에서는 중간에 얻은 집합이 최종 결과를 만드는 데 어떤 역할을 했는지 거꾸로 설명하게 했다. 학생은 잘못된 계산값을 표시하는 데 그치지 않고, 두 풀이가 처음 갈라진 부분이 사건을 표본공간의 부분집합으로 옮기는 단계였으며 그 중간 표현이 합집합과 교집합의 결과를 결정한다고 말할 수 있었다.