춘천 성수여자고등학교 수학과외
구멍과 점프를 지나며 달라진 세 가지 값
춘천에서 성수여자고등학교 학생의 수학 과외를 진행하며 그래프를 이용해 미지수의 범위를 좁히는 문제를 다뤘다. 학생은 가능한 값을 먼저 나열한 뒤, 그래프에 나타난 구멍과 점프를 근거로 일부를 제외하고 있었다.
그래프의 모양은 읽었지만 관계식이 빠진 답안
문제는 특정 점에서 그래프가 비어 있거나 좌우에서 서로 다른 높이로 이어질 때, 좌극한·우극한·함숫값을 구분해 미지수의 조건을 정하는 유형이었다. 학생은 계산을 이어 가며 후보를 줄였지만, 어떤 값을 극한으로 보고 어떤 값을 함숫값으로 확인해야 하는지는 스스로 점검하지 못했다.
서술형 풀이에서도 최종적으로 제외할 범위와 남길 값을 적었지만, 그 결론 직전에 사용한 관계식이 빠져 있었다. 그래프의 구멍이 있다는 사실만 적고 “따라서 해당 값은 함숫값이 될 수 없다”처럼 연결했기 때문에, 답의 방향은 맞아도 논리의 중간 단계가 끊긴 상태였다.
구멍과 점프를 서로 다른 칸에 나누어 확인하기
먼저 표를 두 부분으로 나눴다. 한 칸에는 왼쪽과 오른쪽에서 그래프가 다가가는 값, 즉 좌우극한을 적고, 다른 칸에는 실제로 해당 x값에 찍힌 점의 y좌표인 함숫값을 적었다. 구멍에서는 다가가는 값과 함숫값이 다를 수 있고, 점프에서는 좌극한과 우극한 자체가 달라 극한이 존재하지 않을 수 있다는 점을 각각 표시했다.
그래프에서 가까이 다가가는 높이는 극한이고, 그 위치에 실제로 찍힌 점의 높이는 함숫값이다.
학생은 같은 x값에서 세 값을 한 줄에 섞어 쓰지 않고, 구멍인지 점프인지 먼저 판정한 뒤 조건을 적용했다. 그 결과 제외되는 후보가 왜 사라지는지 관계식과 함께 설명할 수 있었다.
후보가 사라지는 새 그래프에서 풀이 순서를 스스로 정하다
이후에는 앞서 보았던 정답 후보를 그대로 제시하지 않은 새 문항을 풀었다. 학생은 먼저 해당 x값의 왼쪽과 오른쪽 그래프 높이를 각각 읽고, 두 값이 같은지 확인했다. 그다음 열린 점과 닫힌 점을 구분해 함숫값을 따로 기록한 뒤, 조건에 맞지 않는 미지수 후보를 제거했다.
마지막에는 경계값이 포함되는지, 구멍의 높이를 함숫값으로 잘못 사용하지 않았는지를 역순으로 점검했다. 특히 점프가 있는 지점에서는 좌극한과 우극한이 달라 하나의 극한으로 결론 내릴 수 없다는 점을 확인하면서 최종 범위를 확정했다.