춘천 성수고등학교 수학과외
경계점에서 좌우 식이 갈라지는 순간을 읽다
춘천에서 성수고등학교 수학 문제를 지도하던 중, 한 학생이 구간별 함수의 그래프와 식을 함께 제시한 문항을 풀었다. 경계점이 \(x=1\)인 함수에서 \(x<1\)일 때의 식과 \(x\geq1\)일 때의 식을 각각 찾아 좌우에서 접근할 때의 값을 연결하는 과정이었다.
학생은 그래프의 왼쪽 선분과 오른쪽 선분을 먼저 짚은 뒤, 각 구간에 대응하는 식에 \(x=1\)을 대입해 필요한 값을 계산했다. 답 자체에는 가까이 갔지만, 왼쪽 극한과 오른쪽 극한을 비교한 뒤 그 결과가 어떤 조건에서만 성립하는지는 말하지 않고 다음 단계로 넘어갔다. 경계점의 함수값과 극한값을 구하는 일, 그리고 양쪽 극한이 같은지 판단하는 일은 구분해야 하는 상황이었다.
두 값이 같다는 결론에 붙어야 할 조건
풀이를 멈춘 지점은 계산 결과를 해석하는 단계였다. 예를 들어 \(x<1\)에서 \(f(x)=x+2\), \(x\geq1\)에서 \(f(x)=3x-1\)이라면
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=2 \]
가 되어 양쪽 극한은 같지 않다. 따라서 \(\lim_{x\to1}f(x)\)는 존재하지 않는다고 판단해야 한다. 학생은 처음에는 두 식에 같은 경계값을 넣었다는 사실만 확인했지만, 교정 과정에서는 ‘왼쪽에서 접근한 값과 오른쪽에서 접근한 값이 모두 같아야 양쪽 극한이 존재한다’는 조건을 계산 뒤에 반드시 적도록 했다.
이번에는 그래프와 식을 나란히 대조하는 기존 방법 대신, 경계점의 양쪽에 각각 \(x=1-h\), \(x=1+h\)를 놓고 \(h\)가 양의 수로 0에 가까워질 때의 값을 따로 정리했다. 이 방식으로도 왼쪽 결과와 오른쪽 결과가 다르면 전체 극한을 쓸 수 없다는 사실을 확인하면서, 답을 얻은 뒤 조건을 생략한 것이 오류가 시작된 줄임을 찾아냈다.
선택지 없이 양쪽 접근을 스스로 배열한 풀이
새 문항에서는 경계점이 \(x=2\)이고, \(x<2\)와 \(x\geq2\)에 서로 다른 식이 주어졌다. 정답 후보가 제시되지 않자 학생은 먼저 경계점을 표시하고, 왼쪽 식으로 \(\lim_{x\to2^-}f(x)\), 오른쪽 식으로 \(\lim_{x\to2^+}f(x)\)를 계산한 뒤 두 값을 비교하는 순서를 직접 정했다. 그 결과 두 값이 일치하는 경우에만 전체 극한을 인정하고, 함수값은 별도로 주어진 구간의 식에 따라 확인했다.
구간별 함수의 경계점에서는 식을 대입하는 것보다 먼저, 왼쪽과 오른쪽에서 얻은 극한이 같은지 확인해야 한다.
마지막에는 계산식을 역순으로 검토했다. 전체 극한을 쓸 수 있다고 한 결론에서 출발해 좌극한과 우극한이 같은지 다시 확인하고, 어느 한쪽 조건을 제거하면 결론이 달라지는지도 점검했다. 양쪽 값이 일치하지 않는 경우에는 예외 없이 전체 극한을 인정할 수 없다는 이유를 스스로 밝혀, 경계점 판단 절차가 실제로 정착되었음을 확인했다.