후평동 봉의고등학교 수학과외
좌우에서 다가온 값이 갈라진 풀이
후평동에서 봉의고등학교 수학 과외를 진행하던 중, 학생은 한 점에서의 극한을 계산한 풀이를 검토하다가 좌극한과 우극한의 값이 달라지는 장면을 발견했다. 처음에는 풀이의 각 줄에 표시하며 오류가 시작된 위치를 찾았지만, 계산 결과만 확인하고 그 결과가 극한의 존재 여부와 어떻게 연결되는지는 분명하게 말하지 못했다.
계산 결과와 존재 조건을 혼동한 지점
예를 들어 다음 함수에서 x가 1에 가까워질 때를 살펴보았다.
f(x) = 0 (x < 1), f(x) = 2 (x > 1)
학생은 왼쪽에서 접근하면 0, 오른쪽에서 접근하면 2라는 계산은 정확히 해냈다. 그러나 “극한값은 0과 2 중 하나”처럼 표현하면서, 두 값이 일치해야 하나의 극한이 정해진다는 조건을 빠뜨렸다. 이때 문제의 핵심은 특정 값을 선택하는 것이 아니라, 두 방향의 결과가 서로 다르므로 양쪽 극한이 하나의 값으로 모이지 않는다는 판단이었다.
lim x→a f(x)가 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같은 값을 가져야 한다.
표시를 지우고 다른 경로로 재확인하기
기존 풀이의 줄 표시를 보지 않은 채, x=1을 기준으로 수직선을 나누어 접근 방향을 따로 적게 했다. 왼쪽 구간에서는 함수값이 계속 0이므로 좌극한은 0이고, 오른쪽 구간에서는 함수값이 계속 2이므로 우극한은 2이다. 따라서
lim x→1- f(x) = 0, lim x→1+ f(x) = 2
이며 두 값이 다르므로 lim x→1 f(x)는 존재하지 않는다. 학생은 이번에는 계산한 값 뒤에 반드시 “서로 같은가?”를 확인하는 문장을 붙여 조건까지 판단했다.
표현을 바꾼 새 문항에서의 판단
이후 함수식을 바꾸어 다음 관계를 직접 구성했다.
g(x) = -1 (x < 3), g(x) = 4 (x > 3)
학생은 이전 식을 베끼지 않고 x=3의 왼쪽에서는 -1, 오른쪽에서는 4로 접근한다고 정리했다. 두 결과가 다르므로 x=3에서의 양쪽 극한은 존재하지 않는다고 독립적으로 결론 내렸다.
같은 계산이 항상 불존재를 뜻하지는 않는지 확인
마지막에는 좌우 결과가 다른 경우만 고르는지 확인하기 위해 h(x)=5인 상황을 함께 제시했다. 이때 좌극한과 우극한은 모두 5로 같으므로 극한은 존재한다. 학생은 “좌우 극한을 각각 계산한 뒤, 값이 다를 때만 극한이 존재하지 않는다”고 구분하여 설명했고, 조건이 충족되지 않는 경우까지 판별할 수 있었다.