대덕구 동대전고등학교 수학과외
결과보다 먼저 적어야 했던 매개변수의 조건
동대전고등학교 학생과 수열 문제를 검토하던 중, 매개변수의 범위를 구하는 계산 자체보다 서술형 풀이의 연결이 더 큰 문제로 드러났다. 학생은 첫 계산에 들어가기 전, 일반항과 다음 항의 관계, 양수 조건과 단조성 조건을 화살표로 묶어 두었다. 덕분에 관련 없는 식을 섞는 실수는 줄었지만, 왜 그 부등식들이 필요한지 말로 설명할 때는 “이 조건에서 매개변수가 정해진다”는 식으로 표현이 흐려졌다.
범위만 남고 근거가 사라진 서술형 풀이
실제 답안에는 매개변수의 최종 범위가 적혀 있었지만, 그 범위를 얻기 직전에 사용한 관계식이 빠져 있었다. 예를 들어 양수 조건에서 각 항에 대한 부등식을 세웠는지, 단조성 조건에서 an+1-an의 부호를 판단했는지가 드러나지 않았다. 결과가 맞더라도 채점 기준에서는 조건과 결론 사이의 논리가 끊긴 셈이었다.
그래서 기존의 화살표 묶기 방식을 잠시 사용하지 않고, 조건을 각각 독립적으로 점검하는 검산을 진행했다. 먼저 양수 조건이 매개변수에 주는 범위를 적고, 이어서 인접한 두 항의 차 또는 주어진 단조성 관계가 요구하는 부호를 따로 판정했다. 마지막에는 두 범위의 교집합만 남겨, 어느 조건이 실제 제한을 만들었는지 표시하게 했다.
매개변수의 답은 마지막 범위만 쓰는 것이 아니라, 양수 조건과 단조성 조건에서 나온 관계식을 거쳐 얻은 교집합으로 제시해야 한다.
표현을 바꾼 수열에서 첫 오류 지점 찾기
이후에는 앞 문제의 식을 복사하지 않고, 조건 하나만 유지한 새로운 문항을 제시했다. 학생은 바뀐 일반항과 조건을 읽은 뒤 곧바로 결론을 쓰지 않고, 먼저 “양수 조건을 식으로 바꾼 줄”과 “단조성을 부호 조건으로 바꾼 줄”을 각각 작성했다. 두 결과를 비교한 다음에야 가능한 매개변수 범위를 정리했다.
마지막 검증에서는 답이 틀렸다고 가정하고 풀이를 역순으로 확인했다. 최종 범위에서 시작해 양수 조건과 단조성 조건을 차례로 대입하자, 처음으로 논리가 끊기는 지점이 관계식을 생략한 줄이라는 것을 스스로 특정했다. 이제 학생은 매개변수의 결과만 맞추는 데 그치지 않고, 그 결과를 만든 직전 부등식까지 남겨야 풀이가 완성된다는 점을 실제 답안에서 판단할 수 있게 됐다.