노은동 대전노은고등학교 수학과외
몇 항의 값보다 먼저 밝혀야 했던 추론의 근거
대전노은고등학교 학생은 비선형 점화식의 서술형 문항에서 계산 자체는 빠르게 진행했지만, 왜 앞의 몇 항을 구해 패턴을 살피는지 설명하는 부분을 비워 두었다. 식의 구조만 보고 바로 결론을 쓰기보다, 실제 항을 계산해 변화 양상을 확인해야 이후 판단이 근거를 갖는다는 문장을 먼저 적게 했다.
예를 들어 \(a_1=2,\ a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2\)가 주어졌을 때 학생은 \(a_2=2\), \(a_3=2\)를 순서대로 구했다. 처음에는 \(a_3\)을 계산하면서 \(a_1\)에 점화식을 다시 대입하는 등 대입 순서를 뒤섞어 적었고, 그 결과 중간 판단은 맞더라도 풀이 과정이 끊겨 보였다.
대입 순서가 바뀌며 사라진 중간 판단
교정할 때는 각 줄에 사용한 항을 표시했다. 먼저 \(a_2\)를 구하고, 그 결과를 \(a_3\)에 넣은 뒤, 다시 \(a_4\)로 넘어가도록 계산 흐름을 분리했다. 특히 \(a_2=2\)에서 \(a_3=2^2-2\cdot2+2=2\)가 된다는 과정을 생략하지 않고, 같은 값이 반복되는 것이 계산 결과인지 단순한 추측인지 구분하게 했다.
이후에는 앞서 사용한 대입 순서를 그대로 반복하지 않고 식을 \(a_{n+1}=(a_n-1)^2+1\)로 바꾸어 확인했다. \(a_n=2\)이면 다음 항도 \((2-1)^2+1=2\)가 되므로, 여러 항의 계산에서 나타난 패턴이 변형된 식에서도 유지되는지 다른 경로로 검산할 수 있었다.
관계식이 달라진 문항에서 패턴을 직접 세우다
새 문제에서는 초항과 점화식의 표현을 바꿔 \(a_1=3,\ a_{n+1}=a_n^2-4a_n+5\)를 제시했다. 학생은 먼저 \(a_2=2\), \(a_3=1\), \(a_4=2\)를 계산한 뒤, 앞 문제의 식을 복사하지 않고 새로 나타난 값의 흐름을 바탕으로 다음 항을 판단했다. 몇 항의 일치만으로 모든 항을 단정하지 않고, 점화식에 실제 값을 다시 대입해 그 판단이 조건 안에서 성립하는지도 함께 확인했다.
마지막에는 답의 범위와 초항 조건을 다시 살폈다. 계산한 항이 문제에서 요구한 번호까지 도달했는지, 패턴을 적용한 항이 점화식의 정의에 맞는지, 특정 항만 보고 범위를 벗어난 결론을 내리지 않았는지를 점검하면서 서술형 풀이를 마무리했다.