일곡동 살레시오고등학교 수학과외







넓이가 같다는 조건에서 빠뜨린 중간 판단
일곡동에서 살레시오고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 삼각형의 식 모양이 달라져도 넓이가 일정하다는 조건을 이용해야 하는 변형 문항을 만났다. 처음에는 주어진 변과 각을 모두 식에 대입하지 않고, 넓이와 직접 관련 있어 보이는 값만 골라 풀이를 시작했다.
문제에서 요구한 값까지 계산하는 데는 성공했지만, 왜 특정 끼인각이나 변의 범위가 가능한지 설명하는 과정은 건너뛰었다. 선택지를 검토할 때도 조건에 맞아 보이는 후보를 찾은 뒤 다른 후보가 실제로 불가능한지 반례를 대입해 보지 않아 오답을 정답으로 확정했다.
반례 하나가 빠져 있던 선택지 판단
교정할 때는 답을 먼저 보지 않고, 넓이 공식에서 필요한 정보만 추렸다. 두 변이 각각 \(a,b\), 끼인각이 \(C\)라면 넓이는
삼각형의 넓이 \(S=\frac12 ab\sin C\)이므로, 넓이가 고정되면 \(ab\sin C\)도 일정하다.
학생은 이 관계식에 실제로 고정된 값과 변하는 값을 한 줄씩 표시했다. 예를 들어 넓이가 \(6\), 두 변이 \(3,4\)로 고정되면 \(6=\frac12\cdot3\cdot4\sin C\)에서 \(\sin C=1\)이므로 끼인각은 \(90^\circ\)여야 한다. 반대로 각이 고정된 경우에는 \(ab\)의 곱이 일정해야 하므로 한 변의 값이 달라질 때 다른 변의 범위를 함께 따져야 한다.
표현이 바뀐 관계식에서 다시 세운 범위
이후에는 한 조건만 유지하고 나머지 표현을 바꾼 문제를 제시했다. 이전 식을 그대로 복사하지 않고, 고정된 넓이와 끼인각의 사인값을 먼저 확인한 뒤 두 변의 곱에 대한 관계식을 직접 만들게 했다. 학생은 후보 하나를 고르는 데 그치지 않고 경계값을 대입해 가능한 범위와 불가능한 범위를 나누었다.
마지막에는 계산 결과를 다른 경로로 확인했다. 먼저 \(ab\sin C=2S\)를 이용해 얻은 값을 다시 넓이 공식에 넣고, 선택한 끼인각 또는 변의 조합이 원래의 고정 넓이를 재현하는지 확인했다. 이 검산에서 반례 후보는 같은 넓이를 만들지 못한다는 점까지 확인하면서, 조건에 맞아 보인다는 이유만으로 선택지를 확정하지 않게 되었다.
학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위
현재 수강 과목, 교과서와 학교 자료, 실제 시험 범위를 확인해 필요한 내용을 정합니다. 아래 예시는 특정 학교의 출제 경향이나 실제 학생의 수업 사례를 뜻하지 않습니다.
고등 수학
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x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.
조건 때문에 제외되는 값 찾기
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