주월동 대광여자고등학교 수학과외
중간 비율을 답으로 착각했던 사인법칙 풀이
주월동에서 수학 과외를 받는 대광여자고등학교 학생은 삼각형의 두 각과 한 변이 주어진 문제에서 먼저 요구 조건을 읽고 사인법칙을 적용하기로 했다. 풀이를 끝낸 뒤에는 답을 고르기 전에 확인 계산 한 줄도 덧붙였다.
하지만 여백에 표시한 식을 따라가던 중, 두 각과 한 변의 대응 관계를 확인하는 기준이 바뀌는 지점에서 풀이가 흔들렸다. 예를 들어 한 변이 각 \(40^\circ\)의 맞은편에 있고 다른 각이 \(60^\circ\), 세 번째 각이 \(80^\circ\)라면
각의 맞은편 변과 사인값의 비가 같으므로, 중간 비율은 최종 변의 길이가 아니다.
학생은 \(a/\sin40^\circ\)를 구한 뒤 그 값을 그대로 답으로 적었다. 이 값은 각 변을 계산하기 위한 공통 비율이지, 구하려는 변 자체가 아니었다.
공통 비율과 실제 변의 길이를 분리한 계산
교정할 때는 자주 섞이던 두 조건을 별도 칸에 나누었다. 한 칸에는 ‘주어진 변과 그 맞은편 각의 대응’을, 다른 칸에는 ‘구하려는 변과 그 맞은편 각의 대응’을 적게 했다. 주어진 변이 \(a\)이고 구할 변이 \(b\)라면
\[ \frac{a}{\sin40^\circ}=\frac{b}{\sin60^\circ} \quad\Rightarrow\quad b=\frac{a\sin60^\circ}{\sin40^\circ} \]
처럼 공통 비율을 다시 해당 각의 사인값과 곱해야 한다는 점을 계산 결과로 비교했다. 이어 세 번째 각은 \(180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ\)로 정하고, 세 번째 변도 같은 방식으로 구하도록 했다.
답 후보 없이 순서를 직접 정한 새 문항
새 문제에서는 선택지를 없애고, 학생이 먼저 주어진 각과 변의 대응을 표시한 다음 나머지 각을 구하고 사인법칙을 세우도록 했다. 이후 계산값을 원래 비례식에 대입해 양변의 비가 같은지 확인했다. 문제의 숫자와 각이 달라졌지만, 중간 비율을 답으로 쓰지 않고 각 변의 식을 끝까지 완성했다.
마지막에는 한 변과 그 맞은편 각이 정해진 상태에서 두 각의 합으로 세 번째 각이 유일하게 결정된다는 점을 확인했다. 따라서 이 경우에는 남은 변도 각각의 맞은편 각에 대응해 하나씩 정해지며, 별도의 예외가 남지 않는 이유까지 설명할 수 있었다.