인천중구 인성여자고등학교 수학과외
경계값에서 식이 이어지는지부터 따져 본 풀이
인성여자고등학교 학생은 구간별 함수의 경계에서 연속 조건과 미분 조건을 함께 적용해 두 풀이의 옳고 그름을 판단하는 문제를 풀고 있었다. 두 풀이 모두 경계점의 함수값과 좌우 미분계수를 계산했지만, 중간 이후 서로 다른 결론을 내리고 있었다.
학생은 두 풀이를 나란히 옮겨 적은 뒤 결과가 처음 달라지는 줄을 표시했다. 경계점을 기준으로 왼쪽 식과 오른쪽 식의 함수값을 비교하고, 이어서 좌우에서 구한 미분계수를 비교하는 과정까지는 동일했다. 그러나 한 풀이에서는 얻은 조건을 다음 식의 근거로 바로 사용했는데, 그 조건이 왜 필요한지 설명하는 관계식이 빠져 있었다.
같은 답이라도 경계 조건의 연결이 끊긴 서술
예를 들어 경계가 x=a라면 먼저 연속성을 위해 f(a-)=f(a)=f(a+)를 확인해야 한다. 미분 가능성까지 요구될 때는 좌미분계수와 우미분계수도 같아야 하므로 f'_-(a)=f'_+(a)라는 별도의 관계가 필요하다. 학생은 최종적으로 같은 매개변수 값을 얻었지만, 함수값을 같게 둔 식과 미분계수를 같게 둔 식 사이의 연결을 답안에 쓰지 않아 논리가 한 줄 비어 있었다.
이에 두 답안을 다시 작성하면서 각 계산 결과 옆에 그것이 연속 조건에서 나온 것인지, 미분 조건에서 나온 것인지 표시했다. 결과만 적은 풀이와 f(a-)=f(a)=f(a+), f'_-(a)=f'_+(a)를 근거로 남긴 풀이를 비교하자, 채점자가 확인할 수 있는 답안은 후자라는 점이 분명해졌다.
경계에서 연속은 함수값의 일치이고, 미분 가능은 좌우 미분계수의 일치이므로 두 조건을 각각 식으로 남겨야 한다.
정답 선택지 없이 조건을 세워 본 새 문항
다음에는 정답 후보가 제시되지 않은 다른 구간별 함수 문제를 풀었다. 학생은 먼저 경계점을 찾고, 양쪽 식에 그 값을 대입해 연속 조건을 세운 뒤, 각 식을 미분하여 좌우 미분계수를 비교했다. 조건식으로 구한 값을 원래 함수의 경계값과 미분계수에 다시 대입하는 순서도 스스로 정했다.
마지막에는 계산 결과가 맞는지만 보지 않고, 연속 조건과 미분 조건을 각각 만족하는지 따로 점검했다. 특히 한 조건만으로는 다른 조건이 자동으로 따라오지 않는다는 점을 확인하면서, 경계에서 별도의 예외가 남지 않으려면 함수값과 좌우 기울기를 모두 확인해야 한다는 결론까지 검산으로 정리했다.