남동구 숭덕여자고등학교 수학과외
제곱근 안에서 치환 기준이 바뀐 지점을 놓친 풀이
숭덕여자고등학교 학생은 미완성 풀이의 빈칸을 채우는 문제에서 √(x+2√(x−1))의 구조를 살펴보고 있었다. 여백에는 이미 t=√(x−1)이라고 적혀 있었지만, 치환 뒤에도 원래 식의 조건이 어떻게 이어지는지까지는 정리되지 않은 상태였다.
후보식을 찾은 뒤 멈춰 버린 확인 계산
학생은 x=t²+1을 대입해 식을 √(t²+2t+1)로 바꾸었다. 답을 고르기 전에 빈칸에 들어갈 후보를 확인하는 계산도 한 줄 추가했지만, 선택지에 있던 t+1과 다른 형태의 후보를 비교하는 과정에서 판단 기준이 달라졌다. 제곱근을 없애는 과정만 보고 후보를 확정하면서, 다른 후보가 실제 식과 같은지 반례로 점검하지 않았다.
예를 들어 √x+√(x−1)을 원래 식과 같다고 판단하면, 양변을 제곱했을 때 오른쪽은 2x−1+2√(x(x−1))이 된다. 이는 원래 제곱근 안의 x+2√(x−1)과 일반적으로 같지 않다. 특정 모양이 비슷하다는 이유만으로 등식을 인정할 수 없는 이유가 여기서 드러났다.
치환식과 원조건을 함께 묶어 다시 계산한 과정
학생은 식의 모양을 다른 말로 설명해 보았다. 먼저 t=√(x−1)이므로 t≥0이고, x=t²+1이다. 따라서
√(x+2√(x−1)) = √(t²+2t+1) = √((t+1)²)
가 된다. 여기서 결과는 단순히 t+1이 아니라 |t+1|로 나오는 것이 원칙이며, 치환 조건인 t≥0을 사용해야 t+1≥0이므로 최종적으로 t+1이라고 정할 수 있다. 학생은 이 과정을 “제곱근 속 식을 새로운 문자로 바꾼 뒤, 완전제곱인지 확인하고 치환된 문자의 범위로 부호를 결정하는 방법”이라고 설명했다.
치환 결과만 계산하지 말고, 치환된 문자의 허용 범위까지 확인해야 제곱근의 부호를 결정할 수 있다.
숫자와 표현을 바꾼 식에서 직접 만든 관계식
이후에는 같은 식을 복사하지 않고 y≥4라는 조건만 유지한 채 √(y+4√(y−4))를 제시했다. 학생은 u=√(y−4)로 두어 u≥0, y=u²+4를 직접 만들었다.
그러자 식은 √(u²+4u+4)=√((u+2)²)가 되었고, u≥0이므로 결과를 u+2로 정리했다. 이전 식의 숫자를 대입한 것이 아니라, 제곱근 안에서 치환할 부분을 먼저 찾고 원래 조건으로 결과의 허용 여부를 판단했다.
원래 조건으로 결론을 다시 판정한 마지막 확인
마지막에는 처음 문제로 돌아가 x≥1에서 t=√(x−1)≥0임을 확인하게 했다. 학생은 √((t+1)²)을 무조건 t+1로 바꾸지 않고, 먼저 절댓값이 붙는지 살핀 뒤 조건상 음수가 될 수 없다는 근거를 제시했다. 이로써 후보식의 모양이 아니라 치환식, 완전제곱 여부, 원조건을 순서대로 확인해 결론의 허용 범위를 판정할 수 있게 되었다.