인천 덕신고등학교 수학과외







그래프의 가지 수를 곱한 뒤 조건을 놓친 장면
덕신고등학교 학생은 수식과 그래프가 함께 제시된 문항에서 각 단계의 선택지를 연결해 답 후보를 빠르게 줄였다. 첫 단계에 3가지 선택이 있고, 각각의 선택 뒤에 2가지 방법이 이어지는 구조라서 \(3\times2=6\)으로 계산한 것까지는 정확했다. 그래프의 첫 갈림과 다음 갈림을 식에 대응시킨 판단도 분명했다.
하지만 마지막 결론에서는 곱셈 결과 6을 모든 경우에 적용할 수 있는 것처럼 정리했다. 실제로는 두 번째 단계의 선택 수가 첫 단계의 선택에 따라 달라지는지, 각 경로가 조건을 만족하는지 확인해야 했다. 계산값 자체보다 그 값이 성립하는 조건을 판정하는 지점에서 풀이가 멈춘 것이다.
같은 가지 수가 모든 경로에 놓였는지 확인한 과정
수업에서는 오답을 지우는 대신, \(3\times2\)가 성립하지 않는 상황을 직접 만들어 보았다. 첫 선택 3가지 중 한 가지를 택했을 때만 다음 선택이 1가지로 제한된다면 전체 경우의 수는 \(2\times2+1\)처럼 경로별로 달라질 수 있다. 이때 각 단계의 선택이 모든 경우에 독립적으로 이어진다는 전제가 없으므로 단순히 \(3\times2\)라고 할 수 없다.
곱의 법칙은 각 단계의 선택 수가 앞선 선택과 관계없이 일정하게 이어질 때 적용한다.
학생은 그래프에서 각 첫 단계의 끝점에 연결된 다음 가지 수를 따로 표시하고, 같은 수가 반복되는 경우와 특정 경로에서 줄어드는 경우를 구분했다. 그 뒤 식을 쓰기 전에 ‘모든 경로에서 다음 선택 수가 같은가’를 먼저 확인하는 순서를 세웠다.
답 후보가 사라진 새 그래프에서 순서를 스스로 정하다
이후에는 선택지를 제공하지 않은 새 문항을 풀었다. 학생은 먼저 그래프의 시작점에서 갈라지는 수를 세고, 각 경로에 이어지는 선택 수를 확인한 다음, 곱셈을 적용할 수 있는 구간과 적용할 수 없는 구간을 나누었다. 동일한 선택 수가 연속되는 부분만 곱하고, 경로마다 조건이 달라지는 부분은 각각 계산해 합치는 방식으로 최종 답을 구성했다.
마지막에는 한 경로의 조건을 제거했을 때 가지 수가 어떻게 변하는지 비교하게 했다. 학생은 조건이 사라지면 기존에 제외했던 경로가 다시 포함될 수 있으므로 원래의 곱셈 결과와 달라진다고 설명했다. 계산 결과뿐 아니라 곱의 법칙이 적용되지 않는 경우까지 구별하면서, 그래프와 식의 대응을 스스로 검증했다.
학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위
현재 수강 과목, 교과서와 학교 자료, 실제 시험 범위를 확인해 필요한 내용을 정합니다. 아래 예시는 특정 학교의 출제 경향이나 실제 학생의 수업 사례를 뜻하지 않습니다.
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
수업 진행 예시
식의 변형을 다시 확인하기
x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.
조건 때문에 제외되는 값 찾기
분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.
이미 배운 내용과 실제 수강 과목에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율합니다.
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