부개동 부광여자고등학교 수학과외
그래프의 음수 구간을 먼저 읽은 이유
부광여자고등학교 학생은 처음부터 식을 전개하려 했지만, 항이 많아지면서 어느 구간에서 함수가 감소하는지 바로 판단하기 어려워졌다. 그래서 문제의 그래프와 여백에 표시해 둔 도함수의 부호를 먼저 살폈다. 도함수가 0보다 작은 부분에서는 그래프가 오른쪽으로 갈수록 내려가므로, 그 구간을 감소 구간의 후보로 표시했다.
그런데 표시한 후보를 선택지와 대조하는 과정에서 판단 기준이 바뀌는 경계점을 다시 확인하게 되었다. 한 선택지가 표시된 구간과 맞아 보인다는 이유만으로 정답이라고 정했지만, 그 구간 안의 다른 지점에서는 도함수의 부호 조건을 만족하지 않는 반례가 있었다. 학생은 후보 하나가 일부 구간에서만 맞는지, 전체 구간에서 조건을 유지하는지를 따져야 한다는 점을 놓친 것이다.
후보 구간 전체를 확인하는 검산
이번에는 처음처럼 그래프의 모양만 보고 고르지 않고, 각 선택지가 제시한 구간을 나누어 도함수의 부호를 다시 확인했다. 경계에서 부호가 바뀌는지 살핀 뒤, 구간 내부에서 f'(x)<0이 계속 성립하는지를 별도로 점검했다. 일부 위치에서만 감소하는 후보는 제외하고, 구간 전체에서 조건을 만족하는 경우만 남겼다.
이후에는 식의 형태와 수치를 바꾼 새 문항을 제시했다. 학생은 이전 식을 참고하지 않고 새 관계식을 직접 세운 다음, 그래프에서 내려가는 부분과 도함수가 음수인 부분이 대응하는지 확인했다. 이번에는 보기 중 그럴듯한 후보를 곧바로 선택하지 않고, 후보 구간의 내부와 양 끝에서 조건이 유지되는지 먼저 검사했다.
함수가 감소하는 구간은 그래프가 내려가 보이는지만으로 정하지 않고, 해당 구간 전체에서 도함수가 음수인지 확인해야 한다.
마지막에는 반례로 판단을 뒤집어 보기
마무리 검증에서는 새로운 계산을 반복하지 않고, 자신이 고른 구간에서 조건을 깨뜨리는 지점이 있는지 역으로 찾게 했다. 반례가 발견되면 그 선택지를 제외하고, 반례 없이 도함수의 부호가 일정하게 음수로 유지되는 구간만 감소 구간으로 판정했다. 수치가 없는 일반적인 표현으로도 같은 원리를 설명하면서, 후보를 찾는 것과 정답으로 확정하는 것은 다르다는 점까지 확인했다.