인천 교동고등학교 수학과외
증가·감소 구간을 한 칸 잘못 읽은 서술형 풀이
교동고등학교 학생은 원함수의 그래프와 표를 함께 제시한 서술형 문항에서 도함수의 부호를 스케치해야 했다. 처음에는 답을 고르기 전에 원함수 그래프의 변화 방향을 확인하는 계산을 한 줄 덧붙였지만, 그 결과를 문제의 원래 조건과 다시 대조하지 않아 풀이가 중간에서 멈췄다.
그래프의 위치를 잘못 대응시킨 순간
오류는 그래프와 표를 읽을 때 시작됐다. 학생은 부호가 바뀌는 위치를 실제 경계보다 한 칸 옆에 표시했고, 그 뒤의 계산은 일정한 방식으로 진행했지만 출발점이 어긋나 결과 전체가 달라졌다. 원함수가 증가하는 구간에서는 도함수가 양수이고, 감소하는 구간에서는 음수라는 판단 자체보다 어느 구간을 읽어야 하는지가 핵심이었다.
도함수의 부호는 원함수의 값 자체가 아니라 각 구간에서 그래프가 증가하는지 감소하는지에 대응한다.
경계부터 다시 맞춰 본 부호 스케치
교정할 때는 먼저 문제에 표시된 구간의 경계를 원함수 그래프의 같은 위치에 옮겨 적게 했다. 그다음 각 구간을 왼쪽에서 오른쪽으로 나누어 증가·감소 여부를 표시하고, 증가 구간에는 \(f'(x)>0\), 감소 구간에는 \(f'(x)<0\)을 대응시켰다. 마지막에는 이 부호표가 서술형 조건과 일치하는지 확인하도록 했다. 단순히 기호를 적는 데서 끝내지 않고, “원함수 그래프가 올라가면 도함수는 양수, 내려가면 음수로 읽는다”라는 식으로 같은 내용을 다른 표현으로 설명하게 하여 절차를 외운 것인지 점검했다.
표현을 바꾼 새 조건에서 직접 구성한 관계
이후에는 기존 식이나 보기의 표현을 그대로 주지 않고, 한 조건만 유지한 새로운 문항을 제시했다. 학생은 표에 나타난 구간의 변화 방향을 먼저 분리한 뒤, 각 구간에 대응하는 도함수의 부호 관계를 스스로 만들었다. 이번에는 경계의 위치를 먼저 표시하고 부호를 채워, 이전처럼 한 칸 옆의 구간을 선택하지 않았다.
반례로 마지막 부호 판단 점검
최종 검증에서는 학생이 만든 부호 스케치와 반대되는 원함수의 변화 구간이 존재하는지 살폈다. 특정 구간을 증가라고 표시했는데 실제 그래프가 감소하는 경우를 가정해 결과가 어떻게 달라지는지 확인하고, 그런 반례가 조건 안에서 생기지 않는지 점검했다. 이를 통해 학생은 계산 결과만 보는 것이 아니라 원함수의 구간별 변화와 도함수 부호가 끝까지 맞물리는지 스스로 판정했다.