마전동 검단고등학교 수학과외
속도식에서 가속도를 꺼내야 하는 순간
검단고등학교 학생은 여러 단계가 섞인 운동 문제를 풀며 각 계산의 순서를 먼저 번호로 정리했다. 위치를 구하는 단계와 속도를 다루는 단계를 구분한 뒤, 속도함수를 미분해 가속도 \(a(t)\)를 구하는 과정을 세 번째 단계로 직접 지정했다. 마전동에서 진행한 수업에서도 식을 무작정 계산하기보다 현재 필요한 물리량이 무엇인지 먼저 판단하도록 했다.
맞는 선택지처럼 보인 값을 반례로 걸러내기
풀이 과정은 이어 갔지만 가속도를 구한 뒤 무엇을 확인해야 하는지는 분명하지 않았다. 선택지를 검토할 때도 속도함수의 미분 결과와 비슷한 후보를 찾자 곧바로 정답으로 정하려 했다. 그러나 예를 들어 \(v(t)=t^2-4t+3\)이면 가속도는 \(a(t)=v'(t)=2t-4\)이다. \(t=1\)에서의 가속도는 \(-2\)이므로, 같은 조건에서 가속도를 항상 양수라고 한 선택지는 한 번의 대입만으로도 성립하지 않음을 확인할 수 있다.
이때 틀린 값을 지우고 다른 답을 고르는 대신, 해당 값이 주어진 속도식과 조건을 동시에 만족하는지 반례를 만들게 했다. 미분 결과 자체뿐 아니라 특정 시각에 대입했을 때의 부호와 값까지 점검하면서 선택지를 판정하도록 한 것이다.
가속도는 속도함수를 미분한 식이며, 특정 시각의 가속도는 그 식에 해당 시각을 대입해 판단한다.
식이 바뀐 문항에서 다시 세운 판단 기준
이후에는 앞의 식을 복사하지 않고 \(v(t)=3t^2+2t-1\)이라는 새로운 속도함수를 제시했다. 학생은 먼저 \(a(t)=6t+2\)를 만들고, 문제에서 요구한 시각의 값을 계산한 뒤 그 결과가 선택지의 부호와 조건에 맞는지 확인했다. 속도식의 계수와 표현이 달라졌지만 ‘속도에서 가속도로 넘어갈 때 미분한다’는 판단을 스스로 적용했다.
마지막에는 중간 시각의 값을 임의의 답으로 쓰는 것이 아니라, 그 시각에서 속도의 변화율을 나타내는 가속도 식에 대입한 값이라는 점을 말로 설명하게 했다. 이를 통해 계산 중간에 나온 값과 최종적으로 판정할 물리량을 구별하고, 미분 결과를 한 번 더 조건에 맞춰 검산할 수 있는지 확인했다.