만촌동 동문고등학교 수학과외







꼭짓점의 위치가 바뀌면 최솟값도 달라졌다
동문고등학교 학생은 시험지에서 매개변수가 포함된 이차함수의 최적값 문제를 풀며, 먼저 식의 각 부분이 어떤 관계로 연결되는지 화살표로 표시했다. 이차항과 일차항을 묶어 꼭짓점의 가로좌표를 찾고, 그 좌표가 주어진 범위 안에 있는지 확인하는 흐름이었다.
후보를 찾은 뒤 반례를 놓친 순간
예를 들어 fa(x)=x2-2ax+3을 0≤x≤2에서 다루면 꼭짓점의 가로좌표는 x=a이다. 학생은 이를 바탕으로 꼭짓점에서 최솟값을 구한다는 후보를 찾았지만, 꼭짓점이 항상 구간 안에 있다고 판단했다.
하지만 a=3이면 꼭짓점은 x=3으로 구간 밖에 있다. 이때 최솟값은 꼭짓점의 함수값이 아니라 구간 끝점 x=2에서 결정된다. 학생은 이 반례를 확인하지 않은 채 후보를 정답으로 확정했고, 매개변수에 따라 최적값을 정할 위치가 달라진다는 점에서 풀이가 멈췄다.
꼭짓점의 좌표를 구한 뒤에는 그 좌표가 정의된 구간에 포함되는지 반드시 판정해야 한다.
구간 안팎을 나누어 다시 세운 풀이
오류가 난 풀이를 그대로 되짚으면서 학생은 ‘꼭짓점의 위치가 주어진 범위에 들어오는가’를 추가 조건으로 적었다. 먼저 0≤a≤2인 경우에는 x=a에서 최솟값을 구하고, a<0 또는 a>2인 경우에는 가까운 끝점의 함수값을 비교하도록 풀이를 나누었다. 이렇게 하자 이전 계산 결과를 다음 단계의 근거로 사용할 때 필요한 조건이 분명해졌다.
이후에는 식을 바꾼 gt(x)=(x-t)2+1을 -1≤x≤3에서 독립적으로 다루었다. 학생은 앞의 식을 옮겨 쓰지 않고 꼭짓점이 x=t임을 직접 찾은 뒤, -1≤t≤3이면 최솟값이 1이고 범위를 벗어나면 해당 끝점에서 값을 비교했다.
마지막으로 t=4를 대입해 꼭짓점이 구간 밖에 있음을 확인하고, x=3에서의 값이 2가 된다는 것을 계산했다. 이어 t=1일 때는 꼭짓점이 구간 안에 있어 최솟값이 1임을 비교했다. 두 경우의 결과가 달라지는 이유를 조건의 변화와 연결해 설명하면서, 학생은 매개변수 문제에서 먼저 꼭짓점과 허용범위를 함께 판정해야 한다는 성립 조건을 스스로 검증했다.