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만촌동 동문고등학교 수학과외

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꼭짓점의 위치가 바뀌면 최솟값도 달라졌다

동문고등학교 학생은 시험지에서 매개변수가 포함된 이차함수의 최적값 문제를 풀며, 먼저 식의 각 부분이 어떤 관계로 연결되는지 화살표로 표시했다. 이차항과 일차항을 묶어 꼭짓점의 가로좌표를 찾고, 그 좌표가 주어진 범위 안에 있는지 확인하는 흐름이었다.

후보를 찾은 뒤 반례를 놓친 순간

예를 들어 fa(x)=x2-2ax+30≤x≤2에서 다루면 꼭짓점의 가로좌표는 x=a이다. 학생은 이를 바탕으로 꼭짓점에서 최솟값을 구한다는 후보를 찾았지만, 꼭짓점이 항상 구간 안에 있다고 판단했다.

하지만 a=3이면 꼭짓점은 x=3으로 구간 밖에 있다. 이때 최솟값은 꼭짓점의 함수값이 아니라 구간 끝점 x=2에서 결정된다. 학생은 이 반례를 확인하지 않은 채 후보를 정답으로 확정했고, 매개변수에 따라 최적값을 정할 위치가 달라진다는 점에서 풀이가 멈췄다.

꼭짓점의 좌표를 구한 뒤에는 그 좌표가 정의된 구간에 포함되는지 반드시 판정해야 한다.

구간 안팎을 나누어 다시 세운 풀이

오류가 난 풀이를 그대로 되짚으면서 학생은 ‘꼭짓점의 위치가 주어진 범위에 들어오는가’를 추가 조건으로 적었다. 먼저 0≤a≤2인 경우에는 x=a에서 최솟값을 구하고, a<0 또는 a>2인 경우에는 가까운 끝점의 함수값을 비교하도록 풀이를 나누었다. 이렇게 하자 이전 계산 결과를 다음 단계의 근거로 사용할 때 필요한 조건이 분명해졌다.

이후에는 식을 바꾼 gt(x)=(x-t)2+1-1≤x≤3에서 독립적으로 다루었다. 학생은 앞의 식을 옮겨 쓰지 않고 꼭짓점이 x=t임을 직접 찾은 뒤, -1≤t≤3이면 최솟값이 1이고 범위를 벗어나면 해당 끝점에서 값을 비교했다.

마지막으로 t=4를 대입해 꼭짓점이 구간 밖에 있음을 확인하고, x=3에서의 값이 2가 된다는 것을 계산했다. 이어 t=1일 때는 꼭짓점이 구간 안에 있어 최솟값이 1임을 비교했다. 두 경우의 결과가 달라지는 이유를 조건의 변화와 연결해 설명하면서, 학생은 매개변수 문제에서 먼저 꼭짓점과 허용범위를 함께 판정해야 한다는 성립 조건을 스스로 검증했다.

만촌동 수학과외 학부모 후기

프린트와 책을 챙기려고 책상 쪽을 보다가 잠깐 멈췄어요. 아이가 서술형 답안을 통째로 지운 게 아니라, 앞에서부터 적어 내려간 중간식 중 이상한 부분만 지우고 그 자리부터 다시 써 보고 있더라고요. 어디까지 확인했는지 표시한 흔적도 함께 보였고요. 예전에는 다시 살펴볼 곳이 생겨도 그날 바로 손대지 않고 넘어가는 일이 많았거든요. 그런데 이번에는 답안 전체를 새로 쓰기보다 잘못된 계산 과정부터 고쳐 놓았습니다. 만촌동 수학과외를 찾아보던 때와는 별개로, 집에서 이런 장면을 직접 보니 조금 새롭게 보이더라고요. 수학 발표를 준비하던 날에도 비슷했어요. 이미 확인한 부분과 아직 남은 부분을 나눠 표시해 두고, 틀린 중간식부터 다시 적어 두었더라고요. 처음부터 전부 지우지 않고 필요한 곳만 골라 손본 점이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

해설지를 정리하던 날, 아이가 틀린 문제를 따로 유형별로 옮겨 적지 않고 시험지 여백에 틀린 까닭만 짧게 적어두더라고요. 책과 프린트를 치우다가 우연히 봤는데, 어디에서 판단이 어긋났는지 원본에서 바로 확인할 수 있게 해놨어요. 만촌동 수학과외 이야기를 나누며 자료를 정리하던 때였지만, 그 장면 자체가 꽤 기억에 남았어요. 예전에는 복습할 때 무엇을 다시 봐야 하는지 작게 나눠 남기는 모습이 거의 없었거든요. 그런데 새로운 문제집을 풀다가도 페이지를 넘추며 시험지를 다시 펼치고, 틀린 이유를 같은 종이에 간단히 덧붙였어요. 처음 풀이에서 어떻게 생각했는지와 다시 살펴볼 부분이 한곳에 남아 있어서, 표시를 따라가며 문제를 확인하고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

만촌동에서 과외를 시작할 때만 해도 틀린 문제를 보면 답지부터 찾고 질문은 잘 하지 않았습니다. 선생님은 수업 중 다시 확인할 문제를 함께 골라 주고, 밀린 숙제도 우선순위를 정해 부담 없이 나눠 주셨습니다. 요즘은 수업을 마친 뒤 무엇을 복습해야 할지 스스로 정리하는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★☆학부모 후기

처음에는 수업 전부터 긴장해 숙제를 자꾸 미루던 아이가 만촌동 과외를 시작한 뒤 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 질문의 답만 알려주지 않고 왜 궁금했는지 들어준 뒤, 그날 할 일과 다음 복습 내용을 나눠 관리해 주셨습니다. 시험 전날에는 스스로 질문을 정리하고 숙제량이 많으면 먼저 말하는 모습도 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제 검사를 받을 때마다 틀린 문제부터 숨기고 싶었는데, 선생님은 맞힌 문제도 어떻게 풀었는지 편하게 설명해 보라고 하셨습니다. 만촌동에서 수업을 시작한 뒤로는 풀이를 말하는 일이 덜 부담스러워졌고, 시험 전에는 새 진도보다 헷갈린 부분을 다시 보며 차분히 준비했습니다. 이제는 문제를 틀려도 오래 풀이 죽지 않고 다시 이어서 공부합니다.

★★★★★학부모 후기