태전동 매천고등학교 수학과외
그래프의 한 점과 식의 계수를 연결한 풀이
태전동에서 진행한 매천고등학교 수학과외 시간에는 그래프와 문자식이 함께 제시된 서술형 문제를 다뤘다. 학생은 먼저 그래프의 절편과 식의 각 항을 표시한 뒤, 식을 전개해 같은 차수의 항끼리 대응시키려 했다. 예를 들어 f(x)=ax²+bx+c의 그래프가 y축과 만나는 점이 3이면 f(0)=c=3으로 읽을 수 있다.
결과는 맞았지만 빠진 한 줄
학생은 여백에 표시한 값을 이용해 계수들을 계산했지만, 어느 순간 그래프에서 얻은 조건과 식에서 얻은 조건의 역할이 달라지는 지점에서 풀이를 멈췄다가 다시 시작했다. 답안에는 미지수의 값만 적혀 있었고, 그 값이 나온 직전의 관계식이 빠져 있었다. 계산 결과가 맞더라도 서술형에서는 판단 근거가 이어지지 않는 상태였다.
풀이를 다시 쓰면서 먼저 그래프에서 읽은 값을 수치대입으로 고정하고, 이후 항등식의 양변을 전개해 계수를 비교하도록 순서를 분명히 했다. 가령 f(x)=ax²+bx+c, c=3이고 2x²+(a-1)x+(b+c)=2x²+4x+7이라면, 계수비교로 a-1=4, b+c=7을 적은 뒤 c=3을 대입해 a=5, b=4를 얻는다.
그래프의 특정 점은 값을 정해 주고, 같은 차수의 항을 비교하는 식은 남은 미지수 사이의 관계를 정해 준다.
표현을 바꾼 문제에서 관계식을 직접 세우다
교정 뒤에는 단순히 “계수를 비교한다”고 말하지 않고, 그래프에서 읽은 조건을 먼저 수식으로 바꾼 다음 전개된 식의 대응 항을 연결한다고 설명하게 했다. 이어 앞의 식을 복사하지 않은 새 문항에서, y절편 조건 하나만 유지하고 나머지 식과 수치를 바꾸어 제시했다. 학생은 그래프의 점을 먼저 대입하고, 새로 전개한 식에서 상수항과 일차항의 관계식을 직접 만들어 미지수를 결정했다.
마지막에는 답만 확인하지 않고 풀이를 역순으로 점검했다. 구한 미지수들을 관계식에 다시 넣었을 때 양변의 상수항과 일차항이 각각 일치하는지 확인하고, 그래프에서 읽은 절편 조건도 만족하는지 따로 검사했다. 이를 통해 계산 절차를 외운 것이 아니라 계수비교와 수치대입을 함께 사용할 조건을 스스로 판별할 수 있는지 확인했다.