대봉동 경북대학교사범대학부설고등학교 수학과외
대봉동에서 수학 과외를 받던 학생은 매개변수가 포함된 식의 값을 정리하는 문제에서 약분을 빠르게 진행했다. 중간식 옆에는 원래 식에서 분모가 0이 되는 값을 따로 적어 두었지만, 마지막 선택지를 고를 때 그 표시를 답에 반영하지 못했다.
약분 뒤에도 사라지지 않은 분모 조건
학생이 다룬 식은 (x-2)(x+a)/(x-2)와 같은 형태였다. 학생은 곧바로 x+a로 정리했지만, 이 변형은 원래 식의 분모가 0인 x=2에서는 성립하지 않는다. 따라서 약분한 뒤의 식만 보고 모든 값을 허용하면 안 되고, 원래 식에서 먼저 확인한 제외값을 끝까지 유지해야 했다.
처음에는 여백에 x≠2를 적어 두었다. 그러나 선택지를 검토하면서 조건에 맞는 식을 찾는 과정에서 그 표시가 적용되는 기준이 바뀌는 지점을 놓쳤고, 반례 하나를 확인하지 않은 채 특정 선택지를 정답으로 결정했다. 약분 결과가 같아 보여도 원래 식에서 정의되지 않는 값까지 새 식에 포함되는 것은 아니라는 점이 오류의 출발점이었다.
‘없어진 값’이 아니라 ‘처음부터 허용되지 않은 값’으로 다시 보기
교정할 때는 약분 절차를 외우게 하지 않고, 먼저 원래 분모를 확인한 다음 약분하고 마지막에 제외 조건을 붙이는 순서를 고정했다. 학생은 이를 “약분으로 값이 사라진 것이 아니라, 원래 식에서 분모가 0이라 처음부터 사용할 수 없었던 값”이라고 바꾸어 설명했다. 이 표현으로 (x-2)(x+a)/(x-2)=x+a가 단순히 모든 실수에서 같은 식이라는 뜻은 아니며, x≠2라는 제한이 함께 남는다는 점을 확인했다.
이후에는 조건 하나만 유지한 새 관계식 (t+3)(t-b)/(t+3)을 제시했다. 학생은 이전 식을 베끼지 않고 원래 분모에서 t=-3을 먼저 제외한 뒤, 약분 결과를 t-b로 정리했다. 표현이 달라졌어도 제외값을 따로 보존하는 절차를 독립적으로 적용한 것이다.
약분한 식의 모양이 단순해져도, 원래 식에서 분모를 0으로 만드는 값은 정의역에서 되살아나지 않는다.
예외가 남지 않는지 역순으로 확인한 장면
마지막에는 답을 다시 계산하지 않고, 학생이 선택한 결과를 역순으로 점검했다. 먼저 약분된 식에 제외값을 대입해 보게 한 뒤, 그 값이 원래 식에서는 분모를 0으로 만든다는 사실을 확인하게 했다. 이 반례 때문에 해당 선택지는 전체 조건을 만족할 수 없었고, 학생은 약분 결과와 원래 식의 허용 범위를 함께 적어야 정답이 완성된다는 것을 스스로 판정했다.