구서동 부산과학고등학교 수학과외
식과 그래프가 같은 함정을 가리키지 않았던 순간
구서동에서 부산과학고등학교 수학 문제를 함께 살펴보던 학생은 함수식과 그래프를 따로 읽지 않고, 서로 대응하는 지점을 여백에 표시하며 역함수의 존재 여부를 판단하려 했다. 그래프의 한 점이 식의 어떤 입력과 출력에 연결되는지 짚어 가며 일대일 대응 조건을 확인하는 방식이었다.
하지만 선택지를 검토하는 과정에서 조건에 맞는 후보를 찾은 뒤, 그래프 전체에서 같은 출력값이 반복되는지 끝까지 살피지 않았다. 한 수평선이 그래프와 두 번 만나는 반례가 있었는데도 이를 확인하지 않은 채 해당 선택지를 정답으로 확정한 것이다. 특히 판단 기준이 식의 대응 관계에서 그래프의 교점 개수로 바뀌는 지점에서 풀이가 흔들렸다.
한 번의 교점만으로 결론 내린 선택지
교정할 때는 특정 구간의 모양만 보고 판단하지 않도록, 그래프에 수평선을 가정해 전체 정의역에서 교점 개수를 확인하게 했다. 수평선 하나가 그래프와 두 곳에서 만난다면 서로 다른 입력이 같은 출력으로 대응하므로 일대일 함수가 아니며, 그 함수에는 역함수를 만들 수 없다. 반대로 모든 수평선이 그래프와 많아야 한 번 만나는지를 확인해야 식과 그래프의 판단이 일치한다.
역함수가 존재하려면 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가지 않아야 하며, 그래프에서는 모든 수평선이 그래프와 많아야 한 번 만나야 한다.
이후 학생은 ‘일대일 대응’이라는 말을 그대로 외우는 대신, “출력 하나를 정했을 때 그 출력으로 돌아오는 입력이 하나뿐인가”라고 바꾸어 설명했다. 이를 통해 계산 절차가 아니라 입력과 출력의 대응 관계 자체를 기준으로 삼고 있는지 확인했다.
정답 후보가 사라진 뒤에도 스스로 세운 판단 순서
새 문항에서는 기존 선택지를 제거한 형태로 제시하고, 학생이 식의 대응 관계와 그래프의 교점 여부를 어떤 순서로 확인할지 직접 정하게 했다. 학생은 먼저 서로 다른 입력이 같은 출력으로 연결되는지 살핀 뒤, 그래프에 수평선을 적용해 같은 결론이 나오는지 검산했다. 마지막에는 수치나 선택지에 기대지 않고, 일대일 대응이 깨지는 경우에는 역함수가 존재하지 않는다는 일반 원리로 답을 구성했다.
정답을 고른 뒤에는 일부 구간의 그래프만 다시 보는 대신, 일대일 대응을 만족한다고 가정했을 때 반례가 생기는지 역으로 점검했다. 이 검증에서 같은 출력에 대응하는 두 입력이 하나라도 나타나면 처음 판단을 취소해야 한다는 점까지 확인하며 풀이를 마무리했다.