우동 해운대여자고등학교 수학과외







우동에서 진행한 한 수업에서는 지수부등식을 바로 계산하기보다, 중간식 옆에 치환할 값과 그 값이 만족해야 할 조건을 따로 적어 두는 방식으로 문제를 풀었다. 수치가 바뀐 문제에서도 학생은 지수항을 하나의 문자로 바꾸어 다항부등식의 형태로 정리하려고 했다.
치환값은 정했지만 양의 조건을 말로 설명하지 못한 장면
예를 들어 \(4^x-5\cdot2^x+4\ge0\)에서 학생은 \(t=2^x\)라고 두고 \(t^2-5t+4\ge0\)으로 바꾸었다. 계산 과정 옆에는 \(2^x=t\), \(4^x=t^2\)를 적어 두었지만, 왜 \(t\)가 모든 실수가 될 수 없는지 설명할 때는 “지수식이라서 제한된다”라고만 말했다.
치환한 값은 원래 지수식이 가질 수 있는 범위까지 함께 기록해야 다항부등식의 해를 원래 변수의 해로 되돌릴 수 있다.
선택지에서 \(t=2\)를 대입한 결과가 부등식을 만족한다는 이유만으로 해당 보기를 골랐던 것도 문제였다. \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\)이므로 다항부등식의 해는 \(t\le1\) 또는 \(t\ge4\)지만, 치환값 \(t=2^x\)는 양수이고 \(t=2\)는 이 범위에 들어가지 않는다. 한 값을 확인하지 않고 후보를 확정한 것이 오류의 시작이었다.
다항식의 해와 지수식의 범위를 분리해 점검하기
교정할 때는 먼저 다항부등식의 해를 구한 뒤, 치환값의 조건을 다시 적용하는 순서를 고정했다. 위 식에서는 \(t>0\)이고, 따라서 \(t\le1\)은 실제로 \(0 학생에게는 이 과정을 “지수부등식을 치환해 다항식의 부호를 조사한 다음, 치환된 값의 가능 범위를 걸러내고 원래 변수로 되돌린다”라고 다른 표현으로 설명하게 했다. 단순히 \(t\)를 정하고 인수분해하는 절차만 외운 것인지, \(t>0\) 조건의 역할까지 이해했는지를 함께 확인한 것이다. 이후에는 앞의 식을 복사하지 않고 \(9^x-10\cdot3^x+9\le0\)을 제시했다. 학생은 \(u=3^x\,(u>0)\)로 두어 \(u^2-10u+9\le0\), 즉 \((u-1)(u-9)\le0\)을 만들었다. 따라서 \(1\le u\le9\)이고 \(1\le3^x\le9\)에서 \(0\le x\le2\)를 얻었다. 마지막에는 경계값 \(x=0,2\)를 직접 대입해 원래 식이 각각 0이 되는지 확인하고, 중간값 \(x=1\)도 부등식을 만족하는지 점검했다. 다항식에서 얻은 구간과 지수식의 양의 조건이 모두 맞아야 최종 답이 성립한다는 점을 스스로 검증한 것이다.모양이 달라진 식에서 직접 해의 조건을 구성하다