부산남구 성지고등학교 수학과외
부산 남구에서 성지고등학교 수학 문제를 함께 살피던 중, 진수의 비를 이용해 두 로그의 차를 하나의 로그로 바꾸는 문항에서 오답의 출발점을 거꾸로 추적했다. 학생은 틀린 선택지의 계산 줄을 따라가며 식이 어긋난 지점을 찾았지만, 계산 결과를 얻은 뒤 무엇을 검산해야 하는지는 스스로 정하지 못했다.
비로 묶은 뒤에도 남아 있는 조건
문제의 핵심 식은 같은 밑을 가진 로그의 차를 비로 정리하는 것이었다. 예를 들어
\(\log_2 12-\log_2 3=\log_2\left(\frac{12}{3}\right)=\log_2 4\)
처럼 두 진수를 나누어 하나의 로그로 만들 수 있다. 학생은 틀린 선택지의 계산을 역순으로 확인하면서 나눗셈 자체는 제대로 수행했지만, 마지막 결과가 원래 로그식과 같은 의미를 가지려면 두 진수 \(12\), \(3\)이 모두 양수여야 한다는 점을 따로 확인하지 않았다. 특히 계산된 비만 보고 허용 여부를 판단하려 했던 것이 문제였다.
허용되지 않는 값을 반례로 확인한 장면
교정에서는 오답을 단순히 지우지 않고, 조건을 무시했을 때 생기는 반례를 직접 만들었다. \(\log_2(-6)-\log_2(-3)\)을 비의 공식에 넣으면 \(\log_2 2\)처럼 보이지만, 처음의 두 로그는 음의 진수를 가지므로 실수 범위에서 애초에 정의되지 않는다. 따라서 비가 계산된다는 사실만으로 식 전체가 성립한다고 볼 수 없다.
두 로그의 차를 비로 바꾼 뒤에는 비의 값뿐 아니라 원래 각 로그의 진수가 양수인지 확인해야 한다.
이후 학생은 계산 순서를 ‘각 진수의 허용 여부 확인 → 진수의 비 계산 → 하나의 로그로 정리 → 원래 식과 조건 검산’으로 직접 적었다.
정답 후보를 없앤 뒤 스스로 만든 풀이
새 문항에서는 선택지를 가리지 않은 상태에서 \(\log_3 45-\log_3 5\)를 정리했다. 먼저 \(45>0\), \(5>0\)을 확인하고, 진수의 비를 \(45/5=9\)로 계산한 뒤 \(\log_3 9\)를 답으로 제시했다. 마지막에는 \(3^2=9\)이므로 값이 \(2\)라는 다른 계산 경로까지 대조했다.
최종 확인에서는 중간값인 \(45/5\)가 두 로그를 하나로 묶어 주는 역할을 한다고 설명하면서, 그 값만 맞추는 것이 아니라 원래 진수의 정의 조건까지 충족해야 한다고 정리했다.