전포동 부산동고등학교 수학과외
계산보다 먼저 근의 위치 조건을 표시한 풀이
부산동고등학교 학생은 매개변수가 들어간 이차방정식의 근이 특정 구간에 놓이는 문제를 풀면서 식을 처음부터 전개하려 했다. 하지만 문제의 핵심은 근을 직접 구하는 데 있지 않고, 두 근의 위치 조건을 매개변수의 부등식으로 바꾸는 데 있었다. 학생은 전체 계산에 들어가기 전, 근의 위치 조건으로 바로 판단할 수 있는 부분에 표시를 해 두었다.
예를 들어 이차함수를 f(x)라 할 때, 근이 어느 구간의 양 끝에 어떻게 놓이는지를 확인하려면 근의 공식으로 두 근을 계산하기보다 f의 양 끝점에서의 부호와 축의 위치, 판별식의 관계를 함께 살펴야 한다. 학생은 이 방법을 적용해 계산량을 줄였지만, 중간에 변형하기 전 문제에 있던 ‘두 근이 해당 위치에 있어야 한다’는 조건을 식에서 빠뜨렸다.
변형한 부등식 뒤에서 사라진 원래 조건
학생은 매개변수에 대한 부등식을 얻은 뒤 그 결과만 맞는지 확인하려 했다. 그러나 그 부등식이 원래의 근의 위치 조건을 모두 포함하는지 판단할 기준을 세우지 못해, 계산 과정은 이어졌지만 어느 단계에서 검산해야 하는지는 정하지 못한 상태였다. 특히 식을 정리하면서 얻은 조건이 필요조건인지 충분조건인지 구분하지 않은 것이 문제였다.
이때 틀린 결과를 단순히 지우지 않고, 그 값이 왜 허용될 수 없는지 반례를 만들었다. 매개변수의 특정 값을 대입해 얻은 이차방정식의 근 또는 함수값을 직접 확인하고, 겉으로는 정리한 부등식을 만족하더라도 원래 요구한 근의 위치를 벗어나는 경우가 있는지 살폈다. 반례가 나타난 줄에서 변형 전 조건을 다시 적어 보면서, 양 끝점의 부호만 확인한 것인지, 두 근의 실제 위치까지 보장한 것인지 구별했다.
근의 위치 조건을 부등식으로 바꿀 때는 변형된 조건만 남기지 말고, 그 조건이 원래 근의 위치를 충분히 보장하는지 확인해야 한다.
정답 후보 없이 다시 정한 검산 순서
이후 새 문항에서는 학생이 먼저 주어진 구간과 근의 위치를 표시하고, 그다음 축의 위치와 판별식 관련 조건을 필요한 범위에서 정리했다. 매개변수 부등식을 얻은 뒤에는 원래 조건을 지우지 않고 나란히 남겨 두었으며, 각 후보가 실제로 두 근의 위치를 만족하는지 직접 대입해 확인했다.
이번에는 이전 문제의 정답 후보를 참고하지 않고 계산과 조건 확인의 순서를 스스로 정했다. 부등식을 만족하는 매개변수라도 원래 조건을 어기는 값이 있는지 먼저 반례로 점검하고, 반례가 없을 때만 최종 범위로 채택했다. 마지막에는 제외한 값들을 다시 대입해 근의 위치를 벗어나는 사례가 실제로 존재하는지 확인함으로써, 변형된 부등식과 원래 조건 사이에 빠진 경우가 없는지 검증했다.