대연동 부산중앙고등학교 수학과외
교점의 위치를 식의 해로 옮긴 뒤 생긴 빈칸
대연동에서 부산중앙고등학교 수학 문제를 함께 살펴보던 학생은 두 함수의 그래프에서 교점의 위치를 먼저 표시했다. 문제는 조건 하나를 바꾸었을 때 교점의 개수나 위치가 어떻게 달라지는지 비교하는 내용이었다. 학생은 그래프에서 찾은 교점의 좌표를 바탕으로 두 함수의 값을 같게 두어 f(x)=g(x)라는 방정식으로 바꾸었다.
이 접근 자체는 맞았다. 다만 식을 계산한 뒤에는 곧바로 문제에서 요구한 값으로 넘어갔다. 교점의 x좌표가 방정식의 해라는 점, 그리고 그 해가 문제의 원래 조건을 만족해야 한다는 중간 판단을 풀이에 적지 않은 것이다. 그래서 계산 결과가 나와도 어느 조건에서만 가능한 결론인지 설명하지 못했다.
같은 식에서 섞여 버린 두 조건
막힌 지점은 방정식의 해를 구하는 과정이 아니라, 구한 해를 조건에 맞춰 판정하는 단계였다. 교점에서는 반드시 두 함수의 함수값이 같으므로 먼저 f(x)=g(x)를 세운다. 그러나 이 등식의 해가 모두 원래 문제의 허용 범위에 들어간다고 바로 결론 내릴 수는 없다.
학생은 자주 섞이는 두 판단을 별도 칸에 나누어 적었다.
- 그래프의 교점이라는 조건: 두 함수의 값을 같게 하여 f(x)=g(x)의 해를 구한다.
- 문제에서 주어진 조건: 구한 해가 정의역, 구간, 부등식 등의 범위에 포함되는지 확인한다.
그 뒤 같은 계산 결과를 두 조건에 각각 대입해 보면서, 식을 만족하는 값과 실제 답으로 허용되는 값이 항상 일치하지는 않는다는 점을 확인했다. 이 구분을 한 뒤부터는 ‘방정식의 해를 구함’과 ‘그 해가 교점으로 인정되는지 판정함’을 한 줄의 결론으로 뭉뚱그리지 않았다.
조건이 바뀐 문항에서 스스로 답을 완성한 과정
다음에는 정답 후보를 미리 제시하지 않은 새 문항을 풀었다. 학생은 먼저 두 함수의 교점 조건을 f(x)=g(x)로 바꾸고, 계산으로 얻은 값을 적었다. 이어 문제에서 바뀐 조건을 다시 확인한 뒤 각 값이 허용 범위에 들어가는지 직접 판정했다. 마지막에는 원래 그래프의 위치와 계산한 x값이 서로 맞는지 대조해 답을 정리했다.
최종 확인에서는 계산 결과만 다시 반복하지 않고, 결론이 성립하지 않는 조건을 가정해 보았다. 조건을 제외하면 방정식의 해는 남더라도 문제의 교점으로 인정할 수 없다는 점을 설명하면서, 학생은 f(x)=g(x)의 해를 구하는 것과 원조건에 따른 결론의 허용 여부를 구별해 냈다.